Gela posé, nous pouvons énoncer la proposition suivante

Théoeème 1. — Étant donnée une courbe de; quatrième classe K, si Von considère les différentes droites que l'on peut mener par un point M, leurs premières polaires, relativement à K, forment un faisceau de courbes de troisième classe dont la courbe harmonique est la droite polaire du point M, relativement à la courbe du quatrième ordre !3 qui passe par les vingt-quatre points de rebroussement de K.

Démonstration. — Soient, comme ci-dessus,

4no

l'équation mixte de la courLe K; S et T rinvarlant quadratique et l'invariant cubique de U. On sait que la courbe S a pour équalionS = o.

Pour simplifier les calculs, je supposerai la forme U réduite à sa forme canonique, en sorte que l'on aura simplement

U = ),*-[-6niî.^[i-+ ja',

H = m),''-+-(i — 3m5)>.'iJ.3-i-«t;j.\

En appelant 5, r,, (^ les coordonnées du point M, désignons par

tu — UX s- c j' -H ic = o et tOi, = u«x H- V^y -¥■ w^s ~ o

les équations de deux quelconques des droites qui se croisent au point M.

Désignons de plus par i ^ S- — ajT^ le discriminant de la forme U, et par (a, p, y, 3)i {"-ni Po, Yoi ^o) les équations mixtes des premières polaires des deux droites précédentes reialivemenl à K; d'après la formule (i3) donnée dans mon Mémoire sur l'application des formes binaires {Journal de Mathématiques, ?>' série, t. l, p. 120), on aura les équations suivantes :

OÙ f, t), E', Ij' ont la même signification que dans le Mémoire précité ([ï. 119), et r,,, 1)o représentent les quantités analogues à F et 1), dans lesquelles ((, t', tv ont été remplacés par «a, Va et iv„. Cela posé, en désignant par 1 = o l'équation de la courbe harmonique du faisceau formé par les polaires des droites qui se croisent au point M, on aura

yGoosle

i /,dl dl

OU encore, si l'on pose, pour abréger,

S— f— -1- — ^r' „ .dT rfT -

(3SîSc— S4TT0),

puis

En subsliluanl ces valeurs dans (4), on oblienJra

ûn= ^{3S^Su-S''TTo)-h^(5ST„ — 3TSo),

d'où, lédnctions faites,

Sç 2/>f'S dS dS\

Ce qui démontre la proposition énoncée.

4. En particulier, considérons une droite P, teîle que sa première polaire, relativement à R, se décompose en un point p et une conique. Si l'on prend un point quelconque M de celle droite, le réseau formé par les premières polaires des droites qui se croisent en M comprend en particulier le point j? et la conique résiduelle; on en conclut que la courbe harmonique du faisceau passe par le point p. D'ailleurs celte conrbe est la première polaire de M relativement à S; donc, réciproquement, d'après un théorème connu, la droite polaire deys, relativement à S, passe par le point M, et, comme ce point a été pris arbitrairement sur la droite P, cette droite n'est autre que la polaire de />.