CHAPITRE IV
18. Considérons une courbe de troisième classe K, dont l'équa -
soit A son discriminant, en sorte que i ^ o est l'équation de la courbe en coordonnées cartésiennes. En appelant H et J le iiesslen et le covariant cubique de U, je poserai, pour abi'éger,
a ^ (A, B, C) et J = {«', //, c', d).
Cela posé, en considérant l'invariant A, les équations (S) donnent les relations
/fh '^ ilf ' rlil lia:
.dy
que J'oii peut écrire
Posons en oulre (voir n" 15)
0 est un contre variant de la forme F((/, c, w) qui, égalé à zéro, donne l'équation tangenlielle de K; dans le cas actuel, l'équation 0^o représente, comme il est facile de le voir, la cayleyenne deR(').
Le déterminant développé donne l'égalité aC — 2§B-i-YA = (ue.
qui, jointe aux égalités précédentes, permet d'obtenir a, [3 et y par
Aa = «rH-6i) — aAtoe, i;i = l,t-\- eu — aBtoQ, \-; ■= cr+rfii--2C,oe,
qui. quand on rédiiil U à sa forme canonique «X^+ cl'^^, prennent la forme très simple suivante :
{!]') { i3 = — ado>B,
Eli désignant, comme je l'ai fuit jusqu'ici, par ll^^o l'équation de la polaire de la droite w = o, relativement à la courbe K,
(i2) in„=rU|-i-i)U,— aweil.
L'équation en coordonnées cartésiennes de cette polaire est
n Mémoire de Géoindirie analytique, dtijà cité, n" li.
3<j6 oÉOMÉTRi.;.
en nous servant de la forme canoiii<iiie de la Tonne U, on irouvo
immédiatement
d'où, généralement,
19- Considérons maintenant une courbe de quatrième classe K ayant pour équation mixte U=^(«, b, c, d, e) = o; soient S et T les invariants quadratique et cubique de U; son discriminant i est égal à S^ — ^7''-'^i et l'on sait d'ailleurs que A = o est l'équation de la courbe en coordonnées cartésiennes. Je représenterai, pour abréger, lehessien H de U par la notation (a', b', c', d', e').
Cela posé, en considérant les invariants S et T, les formules (S) donnent les quatre relations suivantes :
Ke 3Srf — 3-fc^3& -=— .■S+- ^ = — S,,
I' ' 4 dy '
'^ • i dx
=ie'-3Srf'-T-3Yc' — S6'=--^Th-- ^==-Ti, i- I 1 4 dy
d'où l'on déduit
ia = a(i8TT, — S=S,)H-&(i8TT2— SSSO
-H d'CiSTS,— 12ST1) -!- i'(i8TSï— laSTs), AfJ = 6(i8TT,— S'S,)-t-c(i8TT3 — S^S,)
-i-6'(i8TS, — i2STi)-f-c'('8TS2— laSTî), AY^c(i8TTi— S^S,)-i-rf(i8TTs— S^Sa)
-i-c'(i8T5i — î2ST,)-î-rf'(i8TSi— laSTj , Aa = rf(i8TT,— S=S,)-i-<;(iSTTi— S^Sj)
-+-rf'(i8TS,— iaSTi) + e'(i8TSî-i2STs).
eniiu, pour abréger,
r-i8TT,— SîS,=
la dy
i) = i8TTj— S^S, = -
l'i do::
dy dy
3 = ii--hc))H- — (ù'r'+c'u'),
5 =rfï + eH-^ — {</'E'-4-e'ii'); d'où encore (U,) AlI„=rl)i + wU5-i- — (r'H, + i)'H,).
20. J'ai montré (n" 12, Remarque III) qu'en désignant par % l'équaiion de la cajieyenne de K, w*A0 était le rcsiillanl de H et dn polynôme IIuj) Uî — IT^^îlIi; dans le cas actuel, ce polynôme se compose de deux parties : la première
r(U,,Us— U,îU,)-i'il(U2,U5— Us,U|)
est exactement divisible par H : il n'y a doue pas à en tenir compte; la seconde
le résultanl de Z et do H est donc égal à to'iO. Sans faire de calcul, on voit que ce résultat est le produit par -^ d'un covarianl du quatrième degré et du vingtième ordre; on a donc i=e=/(TU(r',i)')-+-?H(c',5'),
l> eiq désignant des invariants de U (fonctions eniicres, par conséquent, de S et de T) du seizième et du dix-liuitième ordre.
SINliDLARIIES DES CODRBES DE QUATRIEME CLASSE.
Journal de Malhéinalîques pures et appliquées: iZ-fi.
i . Une courbe de quatrième classe K possède vingt-huit poinls doubles 8 et vingt-quatre points de rebi-oussement p. Il existe en outre dans son plan vingt et une droites P telles que la première polaire de chacune d'elles, relativement à K, se décompose en u
point /j et
coniqt
; résiduelle;
igt et i
e droites P cor-
respondront donc vingt et un points remarquables p, que nous aurons à considérer en même temps que les points singuliers.
Je rappellerai à ce sujet que les soixante-treize points S, p et p sont les points communs aux trois courbes
où S et T désignent respectivement l'invariant quadratique et i'iuvariant cubique de la forme U ^(a, i, c, d, e)(k, [a) qui, égalée à zéro, donne l'équation mixte de la courbe K (')■
2. Etant données deu\ équations à une inconnue, de degré /m, F = o et F'= o déterminant par leurs racines deux systèmes de points situés sur une même droite (ou deux faisceaux de droites passant par un même point), je dirai que ces systèmes (ou ces faisceaux) sont harmoniques, si l'invariant quadratique des deux
(') Voir ( Comptes r tion de mon Mémoire Géométrie plane.
iS'ji) la Note accompag in de la théorie des for
COUBBES DE QUATRIÈME CLASSE. ïftlj
formes F et F' est mil; cette notion est, on le voit, une simple extension de la notion bien connue relative à deux systèmes de deux points (ou à deux. faisceaux de deux droites). Cela posé,
étant les équations mixtes de deux courbes de «"""^ classe K" et K'", il est clair que le lieu des points d'où l'on voit ces courbes suivant deux faisceaux, harmoniques s'obtient en égalant à zéro l'invariant quadratique des deux formes (]) et (2); ce Heu csL donc une courbe du n'""^ degré ayant pour équation
(3) (i) = «r— n6K'-H "^"y'-'c/t' -+--.. -H /CT'=ti,
et je la désignerai sous le nom de courbe harmonique des deux courbes K" et R'".
A ce sujet, je ferai remarquer que, si n est impair, I ne cbangc pas quand on remplace respectivement a par a + 'i.a', b par b -i-^-b', ...; si doncC"est la courbe harmonique de K." et de K'", ce sera également la courbe harmonique de deux quelconques des courbes du faisceau déterminé par K." et K.'", cl je dirai que c'est la courbe harmonique de ce faisceau.
