Cola posé, on a les propositions suivaiiles

I. Une droite quelconque D du plan de U renconirant celle courbe en un système de trois points, les deux points covariants de ce système sont situés sur une même cubique du faisceau (U).

Celte cubique renconlre D on un troisième point que j'appellerai le centre de la droite.

IL Par tout point M du plan passent quatre droites ayant le point M pour centre; je les appellerai les rayons du point M,

III. Si, d'un point quelconque M de la cubique Up, on mène des tangentes à la conique polaire de M par rapport à U, ces tangentes enveloppent la surface de sixième classe Fp.

IV. Des six tangentes que l'on peut mener d'un point M de U à la courbe Fp, deux sont les tangentes menées du point M à sa conique polaire relativement à U, les quatre autres sont les rayons du point M,

V. Si une droite se meut tan gentiellernenl à Fp, son centre décrit la cubique Up,

VI. Si une droite touche Fp au point A et renconti-e Up aux points a, &, c, les quatre points A, «, b, c forment un système harmonique.

4. Voici quelques coaséquences de cette dernière proposition : Étant donnée une cubique U, si l'on cherche les conrbes jouissant de la propriété qu'une quelconque de leurs tangentes est partagée harmonlquement par leur point de contact et les trois points où elle renconlre la cubique U, on trouve que ces courbes sont algébriques, et il est facile d'en obtenir une construction géométrique (').

A toute cubique U se rattache en effet une intégrale elliptique

/ dW qui jouit de la propriété suivante : désignons, en général, par (M) la valeur de cette intégrale prise depuis un point convenablement choisi jirsqu'à un point M pris arbitrairement sur celte

C) Voir, sur ce sujet, ma Note Sur un problème de Géométrie relatif a courbes gauclces du quatrième ordre, 22 (Journal de Mathématiques, ï° se t, XV).

courbe; la condilion nécessaire et stiffisanle pour f|ue Irois poinls A, B, C de la courbe solenl en ligne droite peut s'exprimer par la relation

le signe de la congruencc indiquant que la somme, qui se trouve flans le premier membre, est de la forme mp + nq, ni et n désignant des nombres entiers, p el q les deux périodes de l'inKÎgrale. Si une droite tourne autour d'un point A de la courbe, en désignant par B et C les deux points variables oii celle droite mobile coupe la courbe, on aura, en vertu de ce qui précède,

(A) = o, et, parsulle,

ce qui donne gcométriquemenl l'intégrale de l'écuiation dV-\-dV'=o.

Si maintenant on désigne par A' le point conjugué liarmonique de A relativement à B et à C, on voil qiie la droite, en tournant infiniment peu autour du point A', décrit sur la courbe deux segments infiniment pelits égaux à ceux qu'elle décrivait en tournant autour du point A, l'un de ces segments étant décrit dans un sens contraire.

On a donc, dans ce cas,

d\' — d\'=o, équation dont t'intégraîe est (B) — (C) = o.

D'où cette conclusion :

Si une courbe est telle, qu'une quelconque de ses tangentes rencontrant la cubique U en trois points A, B, C, son point de contact soit le conjugué harmonique du point A relativement àB et à C, les points variables B e( C sont reliés par la relation

De là encore une construction géométrique simple de ces courbes.

Soient, en effet, b el c deux points fixes pris sur la courbe et M

im poinl mobile décrivant celle courbe. Menons les droites Mb et. Me et appelons B et C les poinls où elles coupent respeclivement U; je dis que la droite BC enveloppe nne courbe jouissant de la proprkHé énoncée. Les trois points M, b, B étant en eCfet en ligne droite, ainsi que les points M, c, C, on a

(M)^(c) + (C) = o; d'où

(B)-(C, = (c)-(A)^const.

Il est .clair, d'ailleurs, que, pour obtenir toutes les courbes cherchées, il suffit, un des points b étant choisi arbitrairement et restant fixe, de faire varier le point C.

5. Quelque simple que soit la construction géométrique que je viens de donner, elle se prêterait peut-être difficilement à la recherche de l'équation générale des courbes elles-mêmes.

Le théorème VI donné ci-dessus (3) permet d'y arriver facilement.

On voit, en effet, qu'étant donnée une cubique Up, la courbe de sixième classe Fp est une solution de la question; or, Up étant une courbe déterminée, comme on peut prendre pour cubique fondamentale une quelconque des cubiques du faisceau (U), on voit qu'il lui correspond une infinité de courbes Fp dont l'ensemble donne la solution complète du problème.

Pour achever la solution, changeons U en U + 6)>H, A étant un nombre indéterminé; H, P et F deviennent alors respectivement (Sai.mow, loc. cil., p. 189 et suiv.)

(2SX--TX'-i-8 5U3)U + {i-!-]2SÀ^H-2T),'jH, P + Q).-i?.SPX2-i-4(SQ-TP)).3 et

— 34(ï>-i-2TX*)P2— 24(ï,!— ^SX*)PQ--8ï,-iQ!;

par suite, Up devient

lJ{i— iSX — Tl^-i- 8Sn^}-hr,U[\ -h (i{i-^ rzS'r--i- ■?.Ta')\,

ou simplement U, si l'on clctermine p par la coDclJlion

EnefTecliiani la même Iransformation dans Fp, celle expression devient, réductions faites,

(i -f-24SX2^8TXs— 48S=Xi)

X [(i-i-i2SXî + 2T),3)F — i8XPî-iaï.îPQ — -iX'Qî];

l'éqiialion générale des courbes considérées est donc

(,i-[,S>,'+aT),5)F-i8XPs — l'iXn^Q- ir^q^^o.

aCELQUES PROPRIÉTÉS DES COURBES ALGEBRIQDES.

Coinples rendus des séances de l'Académie des Sciences; 1875.

1, Une courbe de 11'""" classe peut être considérée comme une courbe d'ordre «(ff — iJ.Étantdonnceune telle courbe K":^C'' '""'', les polaires des divers ordres d'un point M du plan relaiiveraent à QiiUi-i) dépendent, ea général, non seulement des points deContac! des tangentes que l'on peut mener du point M à la courbe, mais encore des singularités de la courbe. Il est remarquable que la droite polaire du point M ne dépende que des points de contact; on a en effet la proposition suivante :

Théorème L — Si, d'un point M pris dans le plan d'une courbe de n'^'"^ classe K.''=C""'~''', on mène les n tangentes à

la courbe, et si l'on considère les ; droites qui joignent

deux à deux les points de contact, la droite polaire de ^\relativement à C"l"~" est la droite polaire du même point relative-

droites considérées.

Démonstration ('). ~ Soient w = «^ h- t'^ + ivs = o l'équation d'une droite 0 du plan ;

l'équation mixte de K" et H ^ (et, ^, y, . . .) l'équation mi^te de

') J'emploie ici ies notationa doi l'application de la théorie dei foi:

JoUi-iial de Mathématiques, 3" aérie

la polaire de la droÎLe de l'Infini relativement r K". L'équalioii iniïte de la polaire de D relativement à K" est (/'-. B., n" 4) «Ua — fUi + wn=o; si l'on élimine X et |j. entre cette équation et l'équation (i), on obtient Téquaiion ï =; o des «(n — i) tangentes menées à K" aux points de rencontre d^e cette courbe etde D, Si, en posant pour abréger X = ^ — 3;etY^=T| — j'{£etï| désignant les coordonnées courantes), on remplace, dans le résultant T, u, v et w respectivement par [a, — X etXY — |*X, l'expression T' ainsi obtenue étant égalée à zéro donne l'équation inisle des points de contact des n tangentes menées dti point (x,y) à la courbe. Enfin, si l'on forme le discriminant de T', ce discriminant sera un

carré parfait R- et l'équation R ^ o représentera les droites

menlîonnées dans l'énoncé du lliéorème. Il faut maintenant former l'équation de la droite polaire du point (^,jk) relativement à la courbe R = o, ou, ce qui est la même chose, relativement à la courbe R* = o ; et je remarqué d'abord qu'il suffit de calculer dans le discriminant R- le terme constant et les termes du premier degré en X et en Y, en négligeant les termes du second degré.

Le résultant T, quand on y néglige les termes en w d'un degré supérieur au premier, est simplement U( — v, u) -+- nwn( — c, m), comme on le voit facilement en se servant de la formule élcmcnlaire qui donne la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples ; on déduit de là

T'=u(ï., |j)-h«(),v- |j.x)ir(?., il),

d'où, en négligeant toujours les puissances de X et de Y supérieures à la première et en appelant A le discriminant de U (égalé à zéro il donne l'équation de C"'""")

d'où encore, en se rappelant que II ^ o représente la polaire de la droite de l'infini et en employant une formule donnée dans le Mémoire déjà cité (F. li., n° 13),

dx dy

SUR QUELCUES PnOPRIÉTÉS DES COURBES ALeÉERiaUI-:S. ^sg

la polaire du point (3;, y) relativement à R^ est

ou, en vertu du théorème connu sur les fonctions homogènes,

La proposition est donc démontrée.

2. Si !a courbe de «•^""' classe K" est une courbe C" d'ordre inférieur àn{n — 1), le lliéorèine précédent lui est applicable en la considérant comme «ne courbe d'ordre n(n—-i) oblenuc en adjoignant à C"' ses ( tangentes doubles (cliacone d'elles étant comptée deux fois) et ses i tangentes d'inflexion (chacune d'elles étant comptée trois fois).

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Etant donnée une courbe de n'^"'" classe et du même ordreK." = O", possédant t tangentes doubles et i tangentes d'inflexion, si l'on désigne respectivement par Ti^ I, T et A les droites polaires d'un point M du plan relativement à la courbe C*", à l'ensemble des tangentes doubles, à l'ensemble des tangentes d'inflexion et à l'ensemble des droites qui /oignent, deux à deux, les points de contact des tangentes menées du point M à K", la droite A est la polaire du point M relativement au triangle formé par les droites D, T et I, ces droites étant supposées de poids proportionnel aux nombres m, a ï e( 3 1.

En d'autres termes, si par le point M on mène une sécante quelconque rencontrant respectivement les droites D, T, 1 et A aux points d', t', i' et S', on a la relation

3. En particulier, si la courbe considérée se décompose en deux courbes distinctes, on obtient la proposition suivante :

Théorème III. — Étant données deux courbes quelconques de

43o GÉOMÉTRIE.

classe n et d , K" el R"', la droite polaire d^un point quelconque M du plan, relativement à leurs nn' tangentes communes, est la droite polaire du même point relativement aux nn' droites gui joignent les points de contact des tangentes menées de M à K" aux points de contact des tangentes menées dcM à R"'.

Si la courbe K"' se réduit à un point P, on obl.ient le ihéorème suivant :

Si Von considère les tangentes menées d'un point l* à une courbe de n'^'"" classe K.", la droite polaire d'un point quelconque M du plan, relativement à l'ensemble de ces tangentes, est la droite polaire du même point relativement aux droites qui joignent au point V les points de contact des tangentes à K" issues du point M.

Si, en particulier, on suppose que les droites issues du point P soient isotropes, on retrouve ce théorème que j'ai déjà donné dans ma Note Sur la détermination du rayon de courburedes lignes planes {Bull, de la Société phil., 1867).

Si, d'un point M, on mène les n tangentes à une courbe de classe n, le centre harmonique du point M, relativement aux n points de contact, est te même que le centre harmonique du même point relativement aux n foyers réels de la courbe.

A. Si la coiii-be donnée est une courbe de troisième classe K"^ C^, on voit que la polaire d'un point M, relalivemenl à C", est la polaire de ce point relativement au triangle formé par les points de conlact des tangentes issues de M.

Si M est sur la cayleyenne de K', ces points sont en ligne droite; donc celle droite est la polaire de M relativement à C", d'où ces conséquences :

La hessienne de K' est l'enveloppe des droites polaires, relativement à Qfi, des points de la cayleyenne de K'.

Une droite, tangente en Ma R*, coupe C^ en quatre points distincts de M; les trois pôles de M, relativement à ces quatre points, sont les points où lu droite coupe la cayleyenne.

SUR QUELQUES

S. On déduit de ta tliéorie des polaires réciproques une série de théorèmes analogues aux précédents et relatifs aus pôles d'une droite par rapport à une courbe donnée. Il est inutile de les énoncer; leur considération, néanmoins, est indispensable, notamment dans l'application des propositions précédentes à la tliéorie des surfaces algébriques.