LES LIGNES DE COURIÎURE

Journal de Mathématiques pures et oppliijiiecs; 1S76.

i. Les propriétés générales des surfaces du c]iialnéme ordre ayant une ligne double du second ordre et des surfaces de quatrième classe, corrélatives des précédenles, qui sont doublement inscrites dans un cône du second ordre, sont actuellement bien connues. L'étude des variétés de ces surfaces peut néanmoins offrir quelque intérêt à l'égard de leurs propriétés métriques; la surface qui fait l'objet de cette Note peut être considérée comme une des corrélatives de l'anatlagmalique du quatrième ordre à centre ou comme une transformée homographique de la surface parallèle à l'ellipsoïde : on peut construire ses lignes de courbure, et sa définition géométrique très simple la rattacbe étroitement aux surfaces du second ordre; on peut la définir ainsi qu'il suit :

2. Soient S et s deux surfaces honiofocales du second ordre, et P un de leurs plans principaux communs; par une droite D prise arbitrairement dans le plan P, menons un pian touchant la surface S au point M, et un plan touchant la surface S au point m. D'après un théorème connu, dû à M. Chasles, la droite Mm est perpendiculaire à D : on peut donc par D mener un plan perpendiculaire à Mm; appelons [n le point d'intersection de ces deux plans.

Lorsque D se déplace dans le plan P, le point [t décrit une surface S, et c'est cette surface dont je veux étudier les propriétés; je dirai, pour simplifier le langage, qu'à la droite D du pian P

suit UNE SUHrACE DE QUATRIÈME CLASSE. /{^i

correspondent respectivement les poinLs M, m et ft des surfaces S, S et S; en sorte qu'à chaque droite du plan correspondent deux points sur chacune des surfaces du second ordre, et quatre points sur ia surface S.