En premier lieu, j'élahliraî la proposition suivante

Fn un point quelconque |j. de la surface 2, la normale à la surface est la droite j^ntM qui joint les points correspondants sur les surfaces du second ordre homofocales.

A cet; effet, considérons un point quelconque A situé sur la droite D, correspondant au point [j.; le cône 0, ayant pour sommet le point A et circonscrit à la surface S, touchera cette dernière au point |ji, et, si l'on remarque que M/îijj. est dans l'espace perpendiculaire au plan jj,D, on pourra définir ainsi qu'il suit le cône 8, ou plutôt la courhe sphérique 9' suivant laquelle ce cône est coupé par une sphère Q ayant pour centre le point A.

D'après un théorème connu, les traces sur la sphère Q des cônes circonscrits à S et s, et ayant pour somnaet le point A, sont deux coniques sphériques homofocales S' et 5'; le plan principal P coupe celte sphère suivant un arc sphérique P' commun à S' et à s'. Par un point quelconque d' de P', menons un arc de grand cercle touchant S' en M', et un arc de grand cercle touchant S' en m'; puis, par d'., menons un arc de grand cercle perpendiculaire à l'arc de grand cercle qui joint M' et m' . En appelant jjl' leur point d'intersection, on voit que, quand d' se déplacera sur P', u.' décrira la courbe de contour apparent & .

Si la proposition que je veiiK démontrer est vraie, la tangente menée à 0' au point [j.' sera l'arc de grand cercle \>.' d' \ et réciproquement cette proposition sera démontrée si la tangente sphérique au contour apparent est déterminée comme je viens de l'indiquer, quand l'œil est placé en un point quelconque de D, ou encore comme un plan est déterminé par deux des droites qu'il contient quand l'ceit est placé en deux points distincts de D. Or, comme je vais le faire voir, cette construction de la tangente sphérique est facile à vérifier quand l'œil est placé en un des deux points où la droite D rencontre S.

4. Soit H un de ces deux points : la surface S est vue de ce L. — II. a8

point, suivant une ellipse sphérique S', et la surface S suivant les deux foyers /" et ip de cette ellipse située sur l'arc de grand cercle perpendiculaire à P'.

Il s'agit donc de vérifier le théorème suivant ;

Si d'un point d' de l'axe P' d'une ellipse sphérique S' on mène un arc de grand cercle touchant cette ellipse en M', et si par d' on mène un arc de grand cercle perpendiculaire â/M', / désignant l'un des deux foyers de f et tp de S' situés sur un arc de grand cercle perpendiculaire à V, leur point d'intersection fji décrit une courbe sphérique tangente à l'arc de grand cercle ^t-d'; ou, en d'autres termes, le lieu du point [i est un cercle ayant pour centre le point f.

Ce théorème s'établit facilement dans le cas plus général où le point d', au lieu de décrire l'axe f<^^ décrit un arc de grand cercle quelconque perpendiculaire à P'.

A cet effet, je ferai remarquer qu'il est évident lorsqu'on remplace l'ellipse sphérique par une ellipse plane et que le point M' se ment parallèlement à l'un des axes; cela résulte immédiatement de ce qu'une conique plane et un cercle ayant pour centre l'un de ses foyers sont deux courbes homologiqiies; si maintenant on projette cette conique et les axes sur une sphère ayant pour centre un point de la droite menée par le foyer, perpendiculairement au plan de la conique, on obtient le lemme sur lequel je viens de m'appuyer.

La construction de la normale à la surface S, que j'ai donnée ci-dessus, est donc entièrement démontrée.

5. Quelques remarques sur ce qui précède ne seront pas inutiles. En premier lieu, on voit que les courbes spliériques de contour a|)parenl de la surface S, quand l'œil est placé en un point de P, sont susceptibles d'une déiinition entièrement analogue à celle de la surface 2, et l'on peut énoncer la proposition suivante ;

Etant données deux ellipses sphériques homofocales, si, par un point quelconque D, on mène des arcs de grand cercle tangents aux deux ellipses, et si l'on projette orthogonalement le point D sur l'arc de grand cercle qui joint le point de con-

QUATBIÈaB CLASSK. 4^^

tact des tangentes avec les ellipses, le pied [a de l'arc projetant décrit une courbe sphérique tangente à l'arc de grand cercle [iD.

Il esl. à peine utile d'indiquer qu'un théorème analogue a lieu pour les coniques hoiuofocales planes,

6. Les surfaces S et s sont respectivement coupées pur le plan P, suivant des ellipses E et e qui sont des coniques doubles de S.

Des résultats précédents (n" 4) il résulte immédiatement que :

Le cane circonscrit à la sur/ace 2 et ayant pour sommet un point H de la conique E se compose de deux cônes de révolution coupant le plan P suivant les tangentes que l'on peut mener du point ^ à la conique e, et ayant pour axes les génératrices de S qui se croisent au même point.

Ces quatre cônes ont en commun quatre plans tang^enls; deux d'entre eux se coupent suivant la tangente menée au point H à la Conique E : ce sont les plans tangents à la surface en ce point ; les deux autres, qui sont doublement tangents à S, se coupent suivant une perpendiculaire au plan P.

11 est facile de déterminer le degré de leur enveloppe, La surface S est de quatrième classe; en effet, le plan P ne touche évidemment pas la surface et à une droite quelconque de ce plan correspondent quatre points de la surface, et par conséquent quatre plans tangents.

Par suite, le cylindre doublement circonscrit dont je viens de parler est du second ordre, et il est facile de voir que sa trace sur le plan P est une conique homofocale à E et e.

D'où cette proposition :

La surface corrélative de la surface S est une surface du quotrièm,e ordre ayant une conique double.

De là se déduiraient facilement diverses conséquences relatives aux coniques doubles de S et aux cônes du second degré qui lui sont circonscrits, mais je crois inutile de m'éteodre à ce sujet.

7. D'après ce qui précède, on voit que toutes les droites telles que Mm sont normales à une même surface. Ce théorème est un cas particnliei- du théorème suivant, que j'ai donné, il y a déjà quelques années (') :

Étant données deux sur/aces du second degré homofocales, si, par une droite D située dans un plan fixe P, on mène des plans qui touchent respectivement ces surfaces en M et en m, toutes les cordes telles cjue M.m sont normales à une série de surfaces.

Dans le cas général, celte série de surfaces comprend une surface anallagmatique du quatrième ordre ; mais, comme je l'ai fait remarquer dans un des Mémoires cités ci-dessus, lorsque le plan fixe P est un plan principal commun aux deux surfaces du second ordre, cette anallagmaliqiie disparaît et est rcjetce entièrement à l'infini.

I! importait, dans ce cas, de définir géométriquement et d'une façon simple une surface particulière coupant orthogonalement le système des rayons; d'après ce qui précède, on voit que la surface S précédemment définie donne la solution de la question. Cette surface se comporte relativement aux analiagmatiques du quatrième ordre comme l'hjpocycloïde à quatre points de rebroussement relativement au cercle. Dans le cas général, on sait, comme je l'ai montré, déterminer les groupes de rayons qui forment des surfaces développables ; il en résulte que l'on saura déterminer les lignes de courbure de S; mais, bien que cette détermination soit comprise comme cas particulier dans les propositions que j'ai données antérieurement sur ce sujet, je crois cependant utile de la l'aire directement.

8. Étant donnée une conique quelconque K passant par les points d'intersection des coniques E et e, si la droite D se déplace tangentiellement à K, le point ]j. correspondant décrit une ligne de courbure de S,

(') Sur quelques propriétés des surfaces analiagmatiques (Bulletin de la Société philomathique, 1868). — Mémoire sur l'emploi des imaginaires dans la Géométrie de l'espace (Nouvelles Annales de Mathématiques, 187a ).