SUR UNE SUHFAGE DE QUATRIÈME CLASSE

Démonstration. — Soient !> une langenie quelconque à K loiichanL cette courbe au point A; M, m et \3. les points qui coreespondent respectivement à D sur les surfaces S, s et S. Si la droite D, par un déplacement infiniment petit, tourne autour du point A, les poinU M, m et jji viennent respectivement en M', m! el y!. Les plans polaires de A relativement aux surfaces S et * étant perpendiculaires à P, on voit que les droites MM' et mm! se projettent sur ce plan suivant les polaires de A relativement aux coniques E et e; d'oii il suit, puisque les coniques E, e et K ont quatre points communs, que ces projections se coupent sur la tangente en A à la conique K; en d'autres termes, les droites MM' et mm' se coupent dans l'espace, les normales en [a et \j! sont donc dans un même plan et [j.fji' est tangente à une des lignes de courbore qui se croisent au point [a.

CoKOLLAiRE, — Étant donné le plan tangent à ta surface S au point ]*., si l'on désigne par D la droite suivant laquelle ce plan coupe le plan P et par A e( B les points oà la droite D touche les deux coni-^ues du faisceau (E, e) qui luisant tangentes, les droites jxA et [iB sont les directions des axes de l'indicatrice au point Y--

Connaissant, comme je l'ai montré plus haut, huit cônes de révolution circonscrits à la surface et la touchant au point jj., on pourrait construire sans peine les grandeurs de ces axes; mais les constructions que l'on déduit immédiatement de cette considération ne me paraissent pas assez simples pour être rapportées ici.

9. Examinons, dans quelques cas particuliers remarquables, ce que devient la surface S.

Si la surface s se réduit à la focale de S située dans le plan P, S se confond avec S, et l'on retrouverait ainsi, si on le voulait, les lignes de courbure de cette dernière surface.

Si s se réduit à une focale de S située dans un plan perpendiculaire à P, S est une cycUde de Dupin. Supposons enfin que les surfaces S et s se confondent; soient M un point quelconque de S et MQ la perpendiculaire abaissée de ce point sur P, il est facile de voir que la droite Mm est alors la sjmétricjue de MQ relativement au plan tangent mené en M à la surface S; en d'autres

termes, Mm provient de la réflexion du rayon MP sac cetie surface, et l'on voit, conformément au théorème de Dupin, que tous les rayons réfléchis sont normaux à S, De la construction donnée par le point [a on déduit d'ailleurs que Mja^MP; la surface S est donc, dans ce cas, une anUcaustique par réflexion de la surface du second ordre, les rayons incidents étant parallèles à l'un de ses axes.

10. De la construction que j'ai donnée des lignes de courbure de S on déduit facilement que les développables, lieu des normales le long d'une de ces lignes de courbure, coupent les surfaces du second ordre S et 5 suivant un système de lignes conjuguées : je veux dire qu'en chaque point de l'une de ces surfaces les tangentes aux courbes du système qui s'y croisent forment un système de droites conjuguées relativement à l'indicatrice en ce point.

De là diverses conséquences intéressantes découlant immédiatement de cette proposition due à M. Ribaucour : « Si les développables lieu des normales à une surface découpent un réseau conjugué sur une surface du second ordre S, elles y découpent un second réseau également conjugué; elles tracent deux roseaux conjugués sur chacune des surfaces homofocales à S. Chacune des développables est elle-même circonscrite à une surface du second ordre bomofocale à S {') ».

11. Il est facile de démontrer que la surface 'H la plus générale est une anticaustique par réfraction d''une surface du second ordre, les rayons incidents étant parallèles à l'un des axes de cette surface.

A cet eiFet, par une droite D du plan P menons un plan touchant la surface S en M et les deux plans tangents à s; en appelant m et m' les points do contact de ces derniers plans, s! l'on mène par D des plans respectivement perpendiculaires à M ni et à Mm', ils couperont ces droites en deux points y. et \t! situés sur la surface S, et que je désignerai sous le nom de points associés de cette surface relativement à S. D'une proposition que j'ai donnée

(') Notice sur (es llavaux mathématiques de M. Ribaucour, ia;3.