QUATRIÈME CLASSE

antérieurement (') il résulte cjue les droites M^ elM|j.' sont également inclinées sur le plan MD, et que, par suite, les longuenrs Mjji et M|j.' sont égales.

Imaginons main tenant la sphère ayant pour centre le point M et pour rayon M[x; cette sphère, d'après les propositions précédentes, louche la surface S aux points p. et p;'; les plans tangents menés à S en ces pointa se coupent d'ailleurs sur le plan P suivant la droite D qui est siluée dans le plan mené en M langcnliellement à S. On en conclut immédiatement que le rayon de la sphère varie proportionnellement à la distance de son centre au plan P. La surface S, qui est l'enveloppe de cette sphère, est donc, pour un indice de réfraction convenablement déterminé, une anticaustique de S, les rayons incidents étant perpendiculaires au plan P.

12. Une partie des résultats précédents peut facilement être généralisée. En se reportant, en effet, à la proposition que j"ai rappelée ci-dessus (n" 7), on voit que l'an ail agmatique, trajectoire orthogonale du système de rayons qu'elle définit, est rejetée à l'infini, non seulement quand le plan fixe P est un plan principal commun aux deux, surfaces homofocales, mais encore dès qu'il passe par leur centre; lessnrfaces trajectoires de ces rayons doivent donc être considérées comme des surfaces parallèles à une anallagniatique rejetée à l'infini.

Pour étudier directement ces surfaces, considérons d'abord une anal! agmatique So déterminée par une surface du second ordre S etune sphère 6 d'un rayon donné arbitrairement; étant donné un point quelconque M sur la surface S, en désignant par D la distance de M à la sphère (distance comptée sur une tangente) et par S la distance constante du centre de la sphère à un plan quelconque P passant par le centre de S, si l'on considère une sphère ayant pour

C) Sur quelques propriétés des surfaces aiiallagntatiques (Bulletin de la Société philomathique, ifi janvier i868).

Étant données dense surfaces homofocales A. et B et une droite D, menons par cette droite les pleins tangents aux deux surfaces, et soient b et b' les points de contact relatifs à la sur/ace B, à l'un des points de contact relatif à la surface A; les droites ab, ab' sont dans un même plan avec la normale au point a et également inclinées sur cette normale.

^4o GÉOMÉTRIE.

centre le poinl M et pour rajon la longueur (D — 5), l'enveloppe de ces sphères est une su['f;ice parallèle à l'anallagiiiallqne Sq.

Si maintenant on imagine f|He le centre de la splière 0 s'éloigne indéfiniment suivant une direction perpendiculaire au plan P, son rajon conservant toujours du reste une valeur finie, l'anallagmatique Sp est alors rejetée à l'infini : la longueur (D — 8) devient la dislance du point M au plan l' et la surface S parallèle à So une anticaustique par réflexion de S, les rayons incidents étant perpendiculaires à P.

Pour déterminer les lignes de courbure de cette anlicaiistique, je rappellerai les propos! tions suivan tes, que j'ai données dans nia Note Sur quelques propriétés des surfaces anallagniatkjues déjà citée.

Etant donnée une surface anaUagmaliqiie So définie au moyen d'une surface de second ordre S et d'une sphère directrice %, imaginons la surface développable gui leur est circonscrite : elle a pour lignes doubles quatre coniques planes; H désignant l'une quelconque de ces coniques et Q son plan, H est situé sur une surface du second ordre s komofocale à S. Si par une droite D, prise arbitrairement dans le plan Q, on mène un plan tangent à S et un plan tangent à s, la droite qui Joint les points de contact est normale à S,,.

Imaginons une quelconque des coniques passant par les quatre points communs au plan Q et aux surfaces S et s; lorsque la droite D roulera sur cette conique, les normales à So correspondantes formeront une surface développable et traceront une ligne de courbure sur cette surface et sur toutes celles qui lui sont parallèles.

13. Appliquons celte proposition au cas où la sphère 0 s'éloigne à l'infini dans une direction II perpendiculaire au plan P, son rayon demeurant fini. La surface développable circonscrite se réduit alors sensiblement à deux cylindres infiniment peu différents l'un de l'autre et dont les génératrices sont sensiblement parallèles à n. Une seule de ses lignes doubles est à dislance finie : c'est une conique différant infiniment peu de la section de la sur. face S par le plan conjugué à la direction II; la surface Iiomofo-

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cale qui la renferme diffère elle-même infinimenL peu de S; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Considérons des rayons lumineux parallèles à une direction n et venant se réfléchir sur une surface de second ordre S; soit a la courbe de contact de cette surface avec la développable (') isotrope qui lui est circonscrite. Le plan conjugué à la direction H rencontre Ù en quatre points ; considérons l'une quelconque des coniques qui passe par ces quatre points; sa polaire, relativement à S, est un cylindre du second ordre coupant S suivant une biquadratique. Les rayons réfléchis le long de cette biquadratique forment une surface déoeloppable, et par conséquent déterminent sur l' anticaustique une ligne de courbure.

14. Les mêmes considérations s'appliquent au cas de la réfraction, en supposant que la sphère 0, en s'éloignanl à l'infml, demeure toujours inscrite dans un cône de révolution donné.

On obtient ainsi le tliéorème suivant :

Etant données deu-v surfaces honiafocales du second ordre S et s et un plan fixe V passant par leur centre commun, si, par une droite D prise arbitrairement dans le plan P, on mène un plan langent à S et un plan tangent à s, la droite qui joint les points de contact engendre, lorsque D se déplace, un système de rayons.

Tous ces rayons peui^ent être considérés comme provenant de rayons incidents parallèles et se réfractant sur S avec un indice de réfraction convenablement choisi; ils peuvent être également considérés comme provenant des rayons incidents parallèles et se réfractant sur s, la direction de ces seconds rayons et leur indice de réfraction étant généralement di^érents de la première direction et du premier indice de réfraction.

Ces rayons sont normaux à deux anticaustiques par réfrac-

don, la première relative à la surface S et la deuxième à la surface s, et l'on peut déterminer les lignes de courbure de ces anticaustiques.

Je ne sais si l'on avait remarqué les rapports étroits qui relient entre elles la théorie des anticaustiques des surfaces du second ordre et la théorie des surfaces homofocales, non plus que la détermination simple qui en résulte de leurs lignes de courbure.