SECTIONS CIRCULAIRES DES SURFACES

ANALLAGMATIQUES.

Bulletin de la Société pkilomathique: 1868.

1. Étant donnés une sphère fixe S etiiQp!anquelcoiic|ue P, par le cercle d'inlerseclion de la sphère et du plan on peut faire passer deux cônes isotropes. Soient p et p' les sommets de ces cônes ; ces deux points sont réciproques par rapport à la sphère S ; pour abréger le discours, je dirai que ces deux points sont associés au plan P, et réciproquement que le plan P est le plan associe au point p et au point j?'.

Gela posé, on peut énoncer les deux lemmes suivanis :

LxMME I. — Si un plan pivote autour d'' un point fixe O, le lieu des points associés au plan dans ses diverses positions est. une sphère ayant pour centre le point O et coupant orthogonalement ta sphère fixe S.

Lemme II. — Si un plan tourne autour d^une droite fixe, le lieu des points associés au plan dans ses diverses positions est un cercle ayant pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère S sur la droite et coupant orthogonalement cette sphère.

2. Une surface anaiiagmatique peut être définie comme le lieu des points associés par rapport à une sphère S des divers plans qui touchent une snrface du second degré A. L'inlerseclion de la surface A el de la sphère S est d'ailleurs une des focales de la surface. A chaque point de l'anailagmatique est associé un plan qui

ANiLLAQMATrQUES. 5j

louche la surface A en un cerlain point correspondant au premier; à toute courbe tracée sur l'anallagmatiqiie correspondra une certaine courbe formée par les poinls de contact avec la surface A des divers plaus associés aus points de la courbe tracée surl'anallagmatique.

Des deux lemmes que j'ai donnés ci-dessus on déduit immédiatement les deux propositions suivantes :

La normale en un point M d'une anallagmallque est la droite qui joint ce point au point correspondant sur la surface A.

Etant donnés une courbe C tracée sur l'anallagmatigue et un point M de cette courbe, si l'on désigne par c la courbe correspondante tracée sur la sur/ace du second degré A et par m le point de cette courbe qui correspond au point M, le plan normal en M à la courbe C est le plan guipasse par ce point et par la tangente conjuguée de la tangente menée en m à la courbe c.

3. Pour faire une application de ces propositions très simples, je démontrerai brièvement le beau théorème donné par M. Moulard sur l'orlhogonaiité des surfaces anallagmaliqires homofocales.

Les surfaces d'un système homofocal peuvent être engendrées au moyen d'une sphère fixe S et des diverses surfaces du second ordre passant par une anallagmatique spbérique K située sur cette sphère.

Cherchons les surfaces d'un tel système qui passent par un point de l'espace M. Pour cela, menons par ce point un cône isotrope, il coupera la sphère suivant un cercle C, dont le plan P sera le plan associé au point M, Le problème est évidemment ramené à mener par la courbe K une surface du second degré tangente au plan P. Or ce plan devant être tangent à la surface cherchée, doit la couper suivant deux droites renfermant nécessairement les quatre points d'intersection de la courbe K. avec le cercle C. On aura donc trois solutions, et les trois points de contact correspondant à ces trois solutions seront les trois points de concours des diagonales du quadrilatère formé par les quatre points d'intersection dont je viens de parler. En désignant par p, q, r ces trois poinls d'intersection, il résulte de la première proposition établie

au 11° 2 que les normales aux trois surfaces liomofocales passani, par le point M sont Ses droites M/), Mç, M?'. Mais les trois points />,</, r sont les sommets d'un triangle conjugué par rapport au cei'cle C; les droites M/?, Mç, Mr forment donc un trièdre conjugué par rapport au cône a^ant pour base C et pour sommet le point M, c'est-à-dire par rapport à un cône isotrope, donc elles forment un trièdre trircctangle.

4". Sur une surface 'analiagmalique il esiste dis systèmes de sections circulaires qui ont été découverts par M. Moutard, Leur existence résulte très simplement de la définition donnée au n° 2. Que l'on imagine en effet un plan se mouvant tangeniiellement à la surface A, de façon que son point de contact décrive une génératrice g de cette surface; pendant ce mouvement le plan langent tournera autour de cette génératrice; le lieu des points qui lui sont associés par rapport à la sphère S sera donc un cercle coupant orlhogonalement cette sphère, A toutes les génératrices de la surface A du même système que g correspondra un système de sections circulaires de l'anallagmatique; un autre système de sections circulaires correspondra au second système de génératrices rectilignes de la surface A.

Gomme l'anallagmatique est susceptible de cinq modes de génération différentes, l'on voit que l'on obtiendra ainsi cinq groupes de sections circulaires, chaque groupe comprenant deux systèmes distincts.

contrent jamais.

Deux cercles d'un même groupe et de systèmes différents se coupent en deux points et sont par conséquent situés sur une même sphère.

Deux cercles de groupes différents se coupent toujours en un point.

Les sections circulaires d'une anallagniatiquc jouissent d'un grand nombre de propriétés analogues à celles des génératrices rectilignes des surfaces du second ordre; je me contenterai ici de mentionner la suivante, semblable de tous points à une propriété fondamentale des surfaces du second ordre donnée par M. Chasles ;

Étant donnés quatre cercles quelconques d'un même groupe

BORFACES ANALLAQIIATIQIÎEE, 5-J

et, un cercle variable C d'un autre groupe rencontrant les quatre cercles fixes aux points a, b, c et d; si l'on, mène par te cercle variable G les sphères qui touchent la surface aux points a, b, c et d, le rapport anharmonique de ces quatre sphères est constant.

5. Pour plus de clarté, je désignerai par So, S, , Sa, S3 cl S^ les cinq sphères au moyen desquelles on peut engendrer la surface et par Ad, Ai, As, Aj et A, les cinq surfaces du second degré homofocales qui leur correspondent; pour indiquer le mode de géni:ralion relatif à la sphère S/ et la surface A,-, j'emploierai simplement l'expression de génération (S,).

Cela posé, j'ai montré au n" 2 qu'à chaque courbe tracée sur une analiagmalique correspondait une courbe tracée sur la surface du second degré qui sert à engendrer la surface.

Il est utile, dans un certain nombre de questions, de connaître les courbes qui, dans un mode de génération donné, par exemple (So), correspondent aux diverses sections circulaires de la surface.

Relativement au groupe qui appartient proprement à la génération (So), il est clair, d'après ce qui précède, que les sections de ce groupe sont représentées par les génératrices reclilignes de la surface A,,.

Pour obtenir la représentation des autres groupes, imaginons que nous circonscrivions à la sphère S( et à la surface A» une surface développable ; celte surface a pour lignes doubles quatre coniques, qui, dans un ihéorème connu, seront situées sur les qnatre surfaces A,, Aj, A3 et A,. Je désignerai ces quatre coniques par la notation CJ, G^, GJ, G^ ; les indices inférieurs indiquant celle des surfaces A sur laquelle chacune des coniques est située. Si maintenant de chacun des points de la conique G" on mène des cônes circonscrits à A,,, les diverses courbes de contact sur cette surface seront les courbes correspondant aux sections circulaires du groupe appartenant proprement à la génération (S)); les coniques Gj, Cj et C" fourniront de même les courbes correspondant aux sections circulaires des groupes appartenant aux généralions (S^), (Sa) et (S,).

On obtiendrait d'une façon analogue les coniques qui, sur les

surfaces A|, Aj, A, et A4, correspondenl aux différents groupes de sections circulaires.

L'on esl amené ainsi à considérer seize conif|ues analogues à celles que j'ai définies plus haut comme lignes doubles de la surface développable circonscrite à So et à Ao.

Avec ces quatre dernières elles forment un système de vingt coniques qui sont distribuées quatre par quatre sur les cinq surfaces A. Le tétraèdre formé par les plans de quatre d'entre elles situées sur une même surface est un tétraèdre conjugué par ra|)portàceite surface.