DES SURFACES DU SECOND ORDRE

Annales de Mathématiques, 1876.

En désignant, en un point d'une eWipse, par p le ravon de courbure de celle ellipse, et par 'J- la dérivée de ce rayon par rapport à l'arc, Maclaorîn a montré comment la valeur de cette dérivée pouvait se déduire de l'angle <{ue fait la normale à l'ellipse au point considéré avec le diRiuètre qui passe en ce point. On peut, si l'on veut, énoncer de la façon suivante le théorème de Maclaurin :

En un point M d'une ellipse, portons sur la tangente une longueur égale à - et sur la normale une. longueur égale à — - -j- -, la résultante de ces deux longueurs, composées comme des jorces, est perpendiculaire au diamètre OM.

Les lignes géodési({ues des surfaces du second ordre jouissent d'une propriété semblable :

Si, en un point M d'une ligne géodésique tracée sur une surface du second ordre, nous portons sur la tangente MT à cette courbe une longueur égale à -' sur la normale principale une longueur égale à — ^-^ -' et sur la normale au plan osculateur une longueur égale à - (r désignant le rayon de torsion au point considéré), la résultante de ces trois longueurs composées comme des forces est perpendiculaire au plan diamétral conjugué de la direction MT.

J'ai considéré ici, pour simplifier l'énoncé, les composantes -. ~" 3 ds~^^ ~'' ""^^^ '' ^^^ P'"^^ convenable, dans d'autres applications, (le considérer les composantes proponionnelles -^, — ï 7/ ~â

et-^) ces composantes conservant d'ailleurs les directions que j'ai indiquées.

Pour abréger, appelons, si l'on veut, pour un instant, axe de courbure au point M la composante ainsi définie ; on pourra énoncer la proposition suivante :

Si MT et M'T' désignent deux droites quelconques touchant une même ligne géodésique tracée sur une sur/ace du second ordre aux points M et M', la projection de l'axe de courbure en M sur la tangente en W est égale à la projection de l'axe de courbure en M' sur la tangente en M.

Si MT et M'T' étaient tangentes à deux lignes géodésiques différentes, tracées sur une même surface du second ordre, le rapport des deux projections dont je viens de parler demeurerait constant lorsque les droites se déplaceraient tangeniiellement aux lignes géodésiques; à quoi j'ajouterai que les projections sont encore égales si les deux lignes géodésiques sont tangentes à une même ligne de courbure.