SUR LES COURBES GAUCHES

SUB U TILEII» DE LA TOBSION EN m POINT U'UKE LrCNE GEO»ESI<|IIE

Bulletiit de la Société malhématique de France; 1875-18^6.

\ . Considérons une courbe gauche quelconque rapportée à trois axes rectangulaires et dont les équations soienl 3; = X., y^Y» S = Z, X, Y et Z étant trois fonctions données d'une même variable indépendante (. En cbaque point m de cette ligne, menons une droite m^ normale à cette courbe et dont la longueur, ainsi que la direction, soient fixées à chaque instant par la valeur de la variable t correspondant au point m. Projetons ensaile sur la corde mm' les segments normaux m y. et m']x menés respectivement par les extrémités de cette corde ; je me propose d'abord d'évaluer la somme algébrique de ces projections.

En désignant par u cette somme, par A, B, C les dérivées de X, Y, Z par rapport à ( el par L, M, N les projections sur les axes dn segment nifji, on a évidemment

MM'.i

Je poserai, pour abréger, le coefficient de dt étant nul dans ce développement, en vertu de

i'équaiion SAL = courbe.

OÉOMÉTRIE.

o, qui exprime que le segment est normal i

2. Des considérations très simples montrent immédiatement que chaque coefficient d'ordre pair P^n s'exprime linéairement au moyen des coefficients d'ordre inférieur et de leurs dérivées; il s'annule donc en même temps que ces derniers; par suite, la formule (i) montre que wne peut être qu'un infiniment petit à'ordia impair.

P) et Pj étant identiquement nuls, on voit que généralement la quantité w sera du troisième ordre; si elle est d'un ordre supérieur, elle sera du cinquième ordre et l'équation suivante devra être

Si elle est d'un ordre supi tièmo, avec la condilion sui>

au cinquième, elle sera du s

(3) 5:A"L-i-5SA"L'^-ioSA''I.''=o.

Enfin, si elle est d'un ordre supérieur au septième, elle scia identiquement nulle, avec la condition

(4) SA'""L-4-7£A''L'-H?.!2A"L''-t-35SA"'L"'=o,

et alors la courbe /lowr/'c! êti-e placée sur une surface du second ordre.

3. Si l'on se propose, étant donnée une courbe, de trouver un système de segments normaux ayant cette courbe pour base et tels que w soit une quantité infiniment petite du septième ordre, on devra déterminer les segments par les équations (a) et (3),

Je les transformerai d'abord en définissant, en chaque point de la courbe, le segment normal par ses deux projections U et W sur la normale principale et sur la binormaïe en ce point. En désignant, suivant l'usage habituel, par p et par r le rayon de courbure et le rayon de torsion de la courbe au point considéré, et en prenant l'arc s comme variable indépendante, les formules (2) et (3) se mettront facilement, au moyen des formules de M. Serret, sous la

forme suivante :

(2-) fJdi'-) -t-3 — —Wds = o,

liid^Vdl - — ro 1- 5dl]\ d^ I - -t- - ( 1- ~ ]ds^\

\9/ '•? L Vp/ 9\?' >■'/ J

+ 5d\\dsï-d(^) -^-d(-']~\

En éliminant W entre Jes deux équations précédentes, on obtiendra une équation linéaire et du troisième ordre pour déterminer U; on voit donc que, la courbe étant donnée, ie problème que je m'étais proposé a une infinité de solutions, qui toutes peuvent se déduire de trois solutions indépendantes, conséquence à laquelle quelques propositions géométriques très simples conduiraient directement.

4. Laissant de côté ces considérations générales, ainsi que les conséquences qui en découlent relativement aux équations différentielles (entre r, p et s) qui définissent les courbes que l'on peut tracer sur une surface de second ordre, les blquadratiques gauches (par lesquelles on peut faire passer une infinité simple de surfaces du second ordre), et les cubiques gauches (par lesquelles on peut faire passer une infinité double de surfaces du second ordre), je vais rechercher quelles sont les courbes que l'on peut prendre comme base de segments normaux dirigés suivant les noi-males principales de la courbe cl jouissant de la propriété que w soit du septième ordre.

On devra, dans les équations précédentes, poser W = o; l'équation (2') s'intègre alors immédiatement et donne

( désignant une constante aihi traire. Portons cette valeur de U

dans l'équation (3'); Il vient, toutes réductions faîtes,

( ->'^-iiï^"H^A^-H^]-

Il est remarquable que cette équation puisse s'intégrer sans établir aucune relation entre p et r; si on l'intègre en effet en considérant - comme la fonction inconnue (ce qui ne présente aucune difficulté), on trouve que la quantité sous le signe / est une différentielle cxaclcj et l'on obtient l'intégrale suivante ;

C désignant une constante arbitraire.

Telle est la relation qui doit exister entre la torsion et la courbure d'une courbe pour qu'elle jouisse de la propriété énoncée ci-dessus.

5. En particulier, on peut remarquer que, si une ligne géodésique est tracée sur une surface du second ordre quelconque, en portant en chaque point de la courbe sur la normale principale une longueur proportionnelle à \/p, les segments ainsi obtenus jouissent de la propriété que la somme algébrique des projections de deux d'entre eux, sur la corde qui joint leurs pieds, est identiquement nulle; la quantité que j'ai appelée w étant nulle, on voit qu'en chaque point d'une telle ligne géodésique la torsion est donnée par la relation (6), la constante C ayant une valeur convenablement déterminée.

SDR LES LIGNES DE CODKBURE