SURFACES DU SECOND ORDRE

Bulletin de la Société mathématique de France, 1876.

1. Soient A une surface du second ordre etK l'une quelconque de ses lignes de courbure. On peut faire passer par K une infinité de siirfaces du second ordre ; soit A' l'une quelconque d'entre elles.

Cela posé :

La sur/ace développable, circonscrite à Ket A', touche A suivant une de ses lignes de courbure.

En d'autres termes :

Étant donné un plan tangent quelconque à la surjace A qui la touche au point M, on peut, par K, mener deux autres surfaces du second ordre qui touchent le plan; si Von désigne par Aet B leurs points de contact, les droites MA et MB sont les tangentes aux lignes de courbure de A qui se croisent au point M.

2. hes surfaces quadricuspidales, étudiées par M. do la Gouinerie, jouissent de propriétés analogues à celles des surfaces du second ordre A'.

Si, par la biquadratique K, on mène une quadricuspidale quelconque, la surface développable circonscrite à K et à la quadricuspidale touche A suivant une de ses lignes de courbure.

SUR LE LIEU DES POINTS TELS, QUE LES TANGENTES MENÉES DE CES POINTS A DEUX COURBES PLANES SOIENT ÉGALES ENTRE ELLES.

Bulletin de la Société i,

\. Soient S et S' deux courbes planes, hî et /n'deuxpoints situés respectivement sur ces courbes et tels que, les tangentes menées en ces points s'e coupant en t, on ait mt = m' t.

Pour déterminer le lieu du point ï, je m'appuierai sur le lemme suivant, dont l'évidence est immédiate :

Si Von fait la perspective stéréographique des courbes S et S' sur une sphère, en appelant O le centre de la, projection, S et S' les courbes perspectives de S et de S', jx et ]j.' les points correspondant à m et m', les tangentes menées en [j. et \t.' aux courbes S et S' se rencontrent en un point de l'espace © qui est situé sur le rayon Ot.

La réciproque est évidemment vraie.

2. De celemmc résulte immédialement la construction suivante du lieu des points (,

Faisons, sur une sphère quelconque, la perspective stéréographique des courbes données S et S' et imaginons les deux surfaces développables qui ont pour arêtes de rebroussement les deux courbes perspectives S et S'. Ces deux surfaces se coupent suivant une courbe gauche K; imaginons maintenant le cône ayant pour base R et pour sommet le centre 0 de la perspective : ce cône coupera le plan de S et de S' suivant le lieu cherché.

3. Étant donnée une courbe plane S, on peut se proposer de déterminer une courbe T telle que deux des tangentes que Ton

peut mener de chacim des points de celle courbe à S soient égales entre elles.

Pour résoudre ce problème, faisons sur une sphère quelconque la projeclion sléréographicjue de S. La courbe perspective S est l'arête de rebrousaement d'une surface développable ; soit R la ligne nodale de cetie surface.

Si l'on imagine le cône ajant pour base K et pour sommet le centre O de la perspective, ce cône coupe le plan de S suivant la courbe ï.

SUR LES NORMALES