D'UN POINT DONNE A UNE CONIQUE

Comptes rendus des séances de l'Académie des Scie.

i. Je m'appuierai sur les deux propositions siiivanles :

Théorème I. — Si l'on considère trois des normales que l'on peut mener d'un point M à une conique, la droite qui joint le point M au centre du cercle circonscrit aux trois pieds de ces normales a pour conjuguée harmonique, relativement (à ces trois normales, la quatrième normale, que l'on peut mener du point Ma la courbe.

Théouème II. — Si l'on désigne par a, b, c, d les pieds des normales que Von peut mener d'un point M à une conique, et par A, B, C, D les centres des cercles circonscrits aux triangles bcd, cda, dab et abc, les droites menées respectivement par ces points parallèlement aux normales Ma, Mb, Me et Md se coupent en un même point [a.

Ce point est situé sur la droite qui joint le point M au centre de la conique, de l'autre côté de ce centre et à une distance moitié moindre.

En conservant les notations précédentes, on déduit du théorème I que la droite MA est l'ime des deux droites qui constituent la polaire conique de Ma relaliveinent aux droites M b, Me et Md.

Déterminons les directions des quatre normales par des paramètres qui soient les racines de l'équation du quatrième degré

( PEUT MENER A UNE CONIQUE. 45î

en désignant par H et S le hessien et l'invariant quadratique de U, on obtiendra la proposition suivante ;

Les directions des quatre droites MA, MB, MC, MD sont déterminées par les racines de l'une des équations suivantes :

2. Théorème III. — Si l'on mène par le point M deux parallèles aux axes de la conique et si l'on Joint ce point au centre de cette conique, les trois droites ainsi obtenues Jouissent de la propriété suivante : la conjuguée harmonique de l'une quelconque d'entre elles, relativement aux deux autres, se confond avec la conjuguée harmonique de la même droite relativement au faisceau des normales passant par le point M.

îst le paramètre définissant une quelconque des directions dont je viens de parler, les directions des deiiK autres sont déterminées par les racines de l'équation

jHoa"+ 1»»^ + cr") ^-»ïi(««'+ "ojtj^ + <*■•)

'■' +V(ca:-+»iiy + ,j!)±^|(a,,^j-t)'

le radical étant pris avec un signe convenable.

3. Étant données quatre droites passant par un même point M, on peut se proposer de déterminer les coniques qui coupent orthogonalemenl ces quatre droites. Laissant de côté les cercles ayant pour centre le point M, on voit qu'il ja encore une inflnité de solutions; le problème sera complètement déterminé, si l'on assujettit les coniques à passer par un point donné sur l'une des droites ou à toute autre condition analogue.

On trouve alors quatre solutions, et le problème peut se résoudre au moyen de la règle et du compas.

Si l'on veut, en effet, chercher le lieu des centres des coniques satisfaisant à la question, on voit qu'il se compose de droites dont les directions sont délerminées par les valeurs de — > pour les-

quelles les racines de l'équation (i) en (Ç, ï]) correspon<ieiilà deus <lirertions rectangulaires. Si l'on représente par

ré(|oatioii correspondant aux directions parallèles aux asymptotes du cercle, les directions des droites, qui joignent M aux centres des coniques satisfaisant à la question, correspondront aux racmes de l'équation

équation du quatrième degré, résoluble par i'exlraclion de simples racines carrées.

4. Géométriquement, le problème proposé peut se résoudre de la façon suivante : menons un cercle quelconque passant par M et coupant les normales données en «, b, c, d\ appelons A, lî, C, D les tangentes menées au cercle par ces points. On peut construire deux coniques tangentes à ces quatre droites, et telles qu'on puisse circonscrire à cbacune d'elles un triangle ayant ses sommets sur la conique donnée. Soit K l'une de ces coniques; on la déterminera de la façon suivante : construisons les deux droites qui constituent la conique polaire de Oa par rapport au faisceau 06, Oc, Od\ choisissons arbitrairement l'une de ces droites, et soit a le point où elle coupe le cercle. Cela posé, la conique K sera déterminée par cinq tangentes, qui seront A, B, C, D et la droite cta.

Par le centre du cercle, nous pourrons mener deus tangentes à la conique ainsi définie. Soient p et q les points oà l'une de ces tangentes coupe le cercle; construisons le troisième sommet r du triangle circonscrit à K, inscrit dans le cercle et ayant pour côté le segment />j. Ces constructions peuvent évidemment s'effectuer sans tracer la conique K.

Si alors, par le point r, on mène des parallèles aux droites rectangulaires M/) et My, on pourra construire une conique ayant pMDur axes ces parallèles et normale aux quatre droites.

On obtiendra ainsi, au moyen de la règle et du compas, les quatre solutions dii problème.