D'UN POINT DONNÉ A UNE CONIQUE

Bulletin de la Société malhêmatique de France, 1877.

\. Je m'appuierai sur le beau théorème suivant, dîl à M. Liouville (.):

SI, aux quatre points d'intersection d'un cercle et d'une conique, on mène des normales à la conique, et si, par le centre du cercle, on mène une sécante quelconque, le centre harmonique du centre du cercle, par rapport aux quatre points où la sécante coupe les normales, est situé à V infini.

Considérons mainLenanl (*) les quatre normales M«, Mi, Me et M(/, que d'un point M on peut abaisser sur une conique donnée. Désignons par A le centre du cercle qui passe par les pieds b, c, d de trois de ces normales, déterminons le point M' symétrique du point M par rapport au centre O de la conique, et par ce point menons une parallèle Ma' à la normale Ma. Puisque 0M'= OM, il est clair que a et a' sont deux points diamétralement opposés de la conique, et, d'après une élégante proposition due à Joachimslhal, on sait que les quatre points a', 6, c, d sont situés sur un même cercle.

Par suite, d'après le théorème de M. Liouville, si l'on mène par

{^) Mémoire sur quelques ^propositions générales de Géométrie et sur la théorie de l'élimination (^Journal de Mathématiques, t. VI, i" série, p. 4oî)- ( = ) Le lecteur est prié de faire la figure.

l'on pkut mener a une conique. 457

le point A une sécante quelconque, le conjugué harmonique de A par rapport aiiit quatre points où la sécante coupe les droites MV, Mb, Me, M.d est situé à l'infini .

Considérons, en particulier, la sécante A^ parallèle à M'a' et par conséquent à Ma, le point de rencontre avec M'a' étant rejeté à l'infini, on en déduit immédiatement que Ma est la conjuguée harmonique de MA relativement au faisceau des normales Mb, Me, Md.

Supposons maintenant que la sécante passe par le point M, on

Menons par le point A une parallèle à Ma, et soit [/ le point oi!i cette parallèle coupe le diamètre OM; le point jj. décrira le segment MM' dans le rapport de 3 à 1 . On voit donc qu'il est situé sur le prolongement du rayon MO et à une distance du centre égale à la moitié de ce rayon; ce point sera d'ailleurs le même, quelle que soit celle des quatre normales que l'on considère. On peut donc énoncer les propositions suivantes :

Théorème L — Si l'on considère trois des normales que l'on peut mener d'un point M à une conique, la droite qui joint te point M au centre du cercle circonscrit aux trois pieds de ces normales a pour conjuguée harmonique, relativement à ces trois normales, la quatrième normale que l'on peut mener du point M à la courbe.

Théorème 11. — Si l'on désigne par a, b, c, d les pieds des quatre normales que l'on peut mener d'un point M à une conique, et par A, B, C, D les centres des cercles circonscrits aux triangles bcd, cda, dab et abc, les droites menées respectivement par ces points, parallèlement aux normalesMa, Mb, Mcet Md, se coupent en un même point [)..

Ce point est situé sur la droite qui joint le point M au centre de la conique, de l'autre côté de ce centre et à une distance moitié moindre.

2. Il résulte de là que, si ['oq considère l'une qiielconcjue des normales Ma que l'on peut mener par le point M, la droite MA, qui joint ce point au centre du cercle circonscrit au triang-le bcd, cslV une desdenx droites q ni constituent la polaire conique de Ma relativement au faisceau Mb, Me, Md.

Par suite, si l'on détermine pour chacune des normales sa polaire conique par rapport aux trois autres, on obtiendra huit droites sur lesquelles se trouveront les quatre centres A, B, C et D des cercles circonscrits.

Soit

une équation du quatrième degré dont les racines déterminent les directions des quatre normales issues du point M, et a uneracine de cette équation déterminant une des normales. Les directions des trois autres seront données par l'équation

et la polaire conique de la première normale, par rapport aux trois antres, par l'équation

al 3«;^s^ 2(46 + «a);^y + ...] + [(.(6 + «a)372 + ...]=o-

Pour obtenir l'équation déterminant les liiiit droites dont j'ai parlé plus haut, il faut éliminer a entre cette relation et la relation U(a, i) = o; comme, d'ailleurs, le résultat doit être un covariant de U, nous n'avons besoin que de calculer le terme du degré plus élevé. Nous ferons donc y = o, et il restera à éliminer a entre les équations «a + 6=:oetU(a, [)^o; le résultant, multiplié par a;*,

x>^(^ii>i^f,cab^ — ida^b + ea') = (ae — ibd-h3c^)a''x>~3irtC -ù')^b.

Si donc on désigne par H le bessien de U, et par S son i quadratique, l'équation qui détermine les buit droites est

Cette équation se décompose en deux au 1res

°-\/Ϋ = ° " H-^/ÏD=o.

Comme je le montrerai plus loin, !e faisceau des quaLre droites MA, MB, MC et MD est déterminé par l'une de ces équations.

3, Théojième m. — Si l'on joint le point M au centre O de laconique, et si, par le même point, onmène des parallèlesW^ et MY aux axes de cette conique, les trois droites ainsi obtenues jouissent de la propriété suivante :

La conjuguée harmonique de chacune d'elles, par rapport au faisceau des normales issu du point M, se confond avec sa conjuguée harmonique relativement aux deux autres droites.

La vérification de ce théorème se fait très simplement en remarquant que, si l'on rapporte la conique à ses axes, l'équation qui donne les coefficients angulaires de normales issues du poinl(^,ri) est

4. Soit, connue précédemment, U =^ o l'équation qui détermine les directions des quatre normales issues du point M; pour abréger, je dirai simplement que c'est l'équaMon de ces normales, et je me servirai d'une expression semblable pour les autres systèmes de droites que j'aurai à considérer. Soit, de plus,

l'équation de deux quelconques des trois droites MO, MX et MY, Le théorème précédent montre qu'un certain invariant des formes « cl U doit être nul; pour calculer cet invariant, je supposerai la forme U réduite à sa forme canonique, en posant a :^ y ^ o, et les deux droites auront simplement pour équation xy^=Q\ soit, de plu9, xf\ — y% = 0 l'équation de la troisième droite.

Les conjuguées harmoniques dex^ o, relativement à U =; o el y(ic'/l — y\') := o, sont respectivement

da: -i- ey et ifij — 2>Ç; d'après le théorème précédent, on a donc

%dl -H Èïj = o.

De même, les conjuguées harmoniques de ^^ o, relativement à

U^ o et x(x-t\ — j'^)=:o, sonl respecUvement

ax-^by et 237t, ~ jÇ; on a donc également

Éliminant. ^ et yj entre !es relations précédentes, il vient

Écrivons maintenant la relation sui'

où, comme on le voit, le premier membre ne renferme que des invariants de U et de m (' ). D'ailleurs, quand on j fait a = y = o, cette relation se réduit à la relation ae — ibd=o, que nous venons de trouver. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si l'on désigne respectivement par u^o et U= o (es équations des quatre normales issues du point M et de deux quelconques des droites OM, OX et OY, les invariants des formes u et V sont reliés par la relation (i).

5. Désignons par — et- les paramètres qui fixent les directions de deux quelconques des droitesOM, OX etOY; on pourra poser évidemment

et, en portant ces valeurs dans l'équation (t), on obtiendra la relation suivante :

( \^{ax'- + ■}.bxy A- cy^) -^ -iX-r^iba:^-^ icxy + dy'^)

Cette équation déterminera, quand on se donnera ia direction - de l'une des trois droites, les directions des deux autres.

(') Voir Salmos, Higher Algebra, 3' édition, p. aoo.

l'on peut mener a une CONIQljE. .')6l