Je me proposerai maintenant le problème suivant

Déterminer tes coniques quicoupent orthogonalement quatre droites données passant par un même point M.

Je ferai abstraction des cercles ayant pour centre le point M et qui satisfont évidemmeul au problème; il y a encore une infinité de solutions, et l'on pourra préciser la question en assujeltissant, par exemple, les coniques à passerpar un point fixe pris sur l'une des droites.

Je désignerai, comme ci-dessus, par U = o l'équation des quatre droites données. Gela posé, pour déterminer les droites qui joignent le point M aux centres des coniques qui sont des solutions du problème, il suffira d'exprimer que les racines de l'équation (2) en {^,71) correspondent à deux directions rectangulaires.

Soit

l'équation des deux droites isotropes passant par le point M. En posant, pour abréger,

on obtiendral'équation suivante :

Le lieu des centres des coniques cherchées se compose donc Av. quatre droites que l'on peut déterminer par l'extraction de simples racines carrées. .

L'une de ces droites étant déterminée, on prendra arbitrairement un de ses points que l'on regardera comme le centre d'une conique normale aux quatre droites données. L'équation (a) déterminera les directions des axes de cette conique, et il sera facile de trouver la longueur de ses axes.

7. Comme je l'ai montré (n" 2), les quatre droites, qui joignent le point M aux centres A, B, C et D des cercles qui sont circonscrits aux triangles que l'on peut former avec les pieds des nor~

maies, sont déterminées par quatre des racines de l'cqiiïilion

(„yi„)(„Yl")-.

De ce qiicjcvieDB de dire plus iiauL U résulle que, le poljnomeU étant donné, on peut, en extrayant de simples racines carrées, déterminer toutes les coniques normales aux quatre droites, et par suite déterminerlefaisceau MA, MB, MC et MD. Ce faisceau doit par suite, comme je l'avais énoncé, avoir pour équation

autrement ces deux équation

>s seraient r

ésolubles par

l'adjonction

de simples racines carrées, ci

: que l'on s

ait générale»

eut être im-

possible.

8. Etant données quatre, droites passant par un même point et déterminées par l'équation u = o, il est clair qu'il existe une infinité de systèmes de trois droites jouissant de la propriété que la conjuguée harmonique de chacune d'elles relativement aux deux autres se confond avec sa conjuguée harmonique relativement aux quatre droites données.

En désignant par - le paramètre d'une droite arbitrairement choisie, les racines de l'équation (a) détermineront deux autres droites, formant avec la première un système jouissant de la propriété énoncée.

Coupons les quatre droiles données par une conique K passant ])ar lenr point de rencontre el choisie du reste arbitrairement; soient a, p, y et 8 les points où ces droites rencontrent la conique; un quelconque des systèmes de trois droites, jouissant de la propriété énoncée, rencontrera la conique en trois pointSj», q e>%,r; ces trois points formeront les sommets d'un iriang-le inscrit dans K, et il est clair que ce triangle sera déterminé dès que l'on connaîtra un de ses sommets. On en conclut immédiatement que tous ces triangles enveloppent une conique K'.

Considérons les quatre tangentes communes que l'on peut mener à K- et à R' et le point où l'une de ces tangentes touche K.; si l'on

l'on pbut mener a vnk conique. 48S

prend ce point comme sommet d'un triangle inscrit dans K el circonscrit à K', on Yoil facilement que deus des sommets de ce dernier triangle seront confondus au point de contact.

Or en faisant, dans l'éqiiation (a), x=:^ ety = ïi, on obtient l'équation « = o; donc les tangentes menées aux points a, [3, y et S à la conique K sont tangentes à K'.

Tous les triangles satisfaisant à la question s'obtiendront donc en construisant les deux coniques louchant les tangentes menées en a, p, y el S à R, et jouissant de la propriété qu'à chacune d'elles on puisse circonscrire un triangle inscrit dans K; on saitalors que l'on pourra en inscrire une infinité el tous ces triangles satisferont au problème proposé.

9. De là résulte la détenninalion suivante des coniques coupant orthogonalement quatre droites données passant par un même point M.

Par M faisons passer un cercle quelconque K rencontrant les droites données aux points a, p, y et S et menons en ces points les tangentes au cercle.

Nous pouvons déterminer deux coniques différentes tangentes à ces quatre droites et jouissant de la propriété qu'à chacune d'elles on puisse circonscrire un triangle inscrit dans K.

Soit KT une de ces coniques; sans qu'il soit besoin delà tracer, on pourra la supposer déterminée, par eicemple, par une cinquième tangente. Par le centre du cercle menons une tangente à K'; soient^ et q les points où cette tangente coupe le cercle et construisons le troisième sommet r d'un triangle inscrit dans le cercle et circonscrit à K'.

Cela posé, sipar le point r on mène deux droites rX et /'Y parallèles à^p et Mç, on pourra construire une conique ayant pour axes rX et rY et coupant orthogonalement les quatre droites issues du point M,

On obtiendra ainsi, par la règle et le compas, les quatre solutions du problème.

Soient OX et OY les axes de la conique; Ma et Mb les deux droites données; je me propose de déterminer les points a et p où les deux droites sont respectivement normales à la conique cherchée; il sera alors facile de la déterminer complètement.

Soit (le milieu du segment «^ : j'at démontré que la droite A menée par i perpendiculairement à a.^ passe par les milieux des segments interceptés sur les axes par les deux normales MaetMb, Connaissant ces deux normales, on construirafacilement la droite A et il suffira de déterminer sur cette droite un point i, tel que la perpendiculaire, menée en ce point à A, rencontrât les droites Ma et Mè en deux points équidistants du point i.

La construction à laquelle on est ainsi conduit serait souvent défectueuse dans la pratique ; la suivante sera peut-être préférable.

La proposition que j'ai rappelée plus hautpeuteneore s'énoncer de la façon suivante :

Étant données deux droites normales à une conique aux points a et p, ces deux normales, la droite menée par le point milieu i de la corde ap et perpendiculairement à cette corde, la corde a^ et les deux axes de la conique forment un ensemble de six droites tangentes à une même parabole, dont la directrice est la droite Oi.

Pour obtenir le point (', il suffira donc, d'après une propriété bien connue, de construire le point de rencontre P des 'hauteurs du triangle formé par les deux normales données et l'un des axes; le point i sera alors déterminé parle point de rencontre de A et de la droite qui joint le point P au centre de la conique.

Le point i étant déterminé, en menant par ce point une perpendiculaire à A, on obtiendra les pieds des normales a et p.

Si l'on suppose que les normales Ma et Mè se confondent, on retrouve alors une élégante construction du centre de courbure d'une conique donnée par M. Mannheim,

i. J'ai démonlré plus haut la propriété suivante des normales que l'on peut mener d'nn point à une conique.

Si l'on joint un point quelconque M au centre d'une conique et si l'on mène parce point des parallèles aux axes de cette conique, les trois droites ainsi obtenues Jouissent de la propriété que la conjuguée harmonique de chacune d'elles, relativement aux deux autres, se confond avec la conjuguée harmonique relativement aux quatre normales que l'on peut mener du point M à la conique.

Celle proprii^lé étant évidemment projective, on en déduit immédiatement la proposilîon suivante :

Étant donnés un pointM. et l'hyperbole équilatère gui passe par les pieds a, 6, a, d des quatre normales que Von peut mener du point M à une conique, si l'on joint un point quelconque de V hyperbole aux quatre points a,b, c et d, on obtient quatre droites normales à une conique ayant mêmes axes que la conique donnée.

En particulier, les points a, b, c, d sont sur l'hyperbole, et, si l'on considère trois quelconques de ces points, en vertu d'un théorème bien connu, le point de rencontre des hauteurs du triangle

formé par ces trois points se trouve légalement sur cette conrl>e.

D'où les conséquences suivantes ;

Étant donnés sur une conique quatre points tels que les normales en ces points soient concourantes, si l'on joint un quelconque de ces points aux trois autres, les trois droites ainsi obtenues sont normales à une eonique ayant mêmes axes que la conique donnée.

Les trois hauteurs d'un quelconque des triangles, que Von peut former avec trois deees points, sont également normales à une conique ayant mêmes axes que la conique donnée. L. — II. 3o

(165 GioMÉTHIE.

2. Considérons mainLenant une surface du second ordre donL l'éG[iialion, en coordonnées rectangulaires, soit

pour déterminer les pieds des normales à cette courbe qui passent ■par le point (a, p, y) nous adjoindrons à l'équalion (i) les équations

ou, en désignant par ^ une quantité indéterminée, arj. 6£ c-r

en donnant à \ toutes les valeurs possibles, les formules précédentes déterminent les divers points d'une cubique gauche K passant par les six pieds des normales, les paramètres de ces points étant d'ailleurs donnés par les racines de l'équation

— cy- ''

ou, sous l'orme entière et en introduisai

it pour l'homogénéité une

quantité ïj égale à l'unïté,

\j = {%~a-nr-{\-b-<iy(l~o-r,y—a^^-.

r,2(5 — iï,/(^~eïl)^

J^=^s(^ci,)2(ï — aïi)'-CY*-i

iHï-«-o)H5-*'n)' = o-

Le centre de la surface et les trois points à l'infini sur les ax^es sont également situés sur K et leurs paramètres sont respectivement 00, a, 6 et c ; ce sont les racines de l'équation

W = vi(?-«-T)(5-i--i)(£-cii) = o.

Je vais établir maintenant que le conjugué harmonique de l'un quelconque des quatre points déterminés par l'équalion W = o, relativement aux U'ois autres, se confond avec son conjugué harmonique relativement aux six pieds des norniEdes.

Considérons, par exemple, le point A dont le paramètre est «; en posant, pour abréger.

yGoosle

le conjugué harmonique de A relativenienl aiix points (oc, h, c) sera déterininé par l'éqnation

la lettre ^ ayant été remplacée par la lettre a dans les dérivées partielles.

D'autre part, le conjugué harmonique du point A relativement aux pieds des six normales, sera déterminé par l'équation

où, dans les dérivées partielles, on doit également faire ^ ^ a. Il est clair, dans cette hypothèse, que l'on peut supprimer dans IJ tous les termes qui renferment (^ — ar,) au carré et remplacer U parV^; l'éqoation précédente devient alors

et, en la comparant à l'équation (2), on en déduit la proposilion que je voulais démontrer.

3, Cette proposilion peut encore s'énoncer de la façon suivante : Par un point M de l'espace menons des parallèles aux trois axes d'une surface du second ordre, puis joignons ce point au centre de la surface, nous obtiendrons ainsi quatre droites (D) : ces droites et les normales que du point M on peut mener à la surface, seront situées sur un même cône du second ordre. Cela posé :

La conjuguée harmonique de V une quelconque des droites (D), relativement aux trois autres, se confond avec sa conjuguée harmonique relativement aux six normales.