BN X AT = BF X FA = A

de là résulte que la polaire du point T, relativement aux droites afi et a'p', est la droite NL menée par le point N parallèlement à l'axe.

La proposition précédente peut, par suite, s'énoncer ainsi :

La polaire du point T relativement à la droite i^ et à la

droite NL {celte dernière étant considérée comme double) se confond avec la polaire de ce point relativement à FN (cette dernière droite étant considérée comme triple) ; et de là résulte d'abord que la droite A passe par le point N.

Powr en déterminer un antre point, menons par ]e point T une parallèle à l'axe; soient Q (') le point où cette parallèle rencontre NF, et H le point où elle rencontre A.

D'après ce que j'ai dit ci-dessus, on aura

TQ ~ TH ■

Menons par le point II une perpendiculaire à FT; en désignant par I' son pied, on voit que les deux triangles FQT et FHT sont semblables et donnent la proportion

FT TQ 'i'

ÏT est dans te tiers de FI' et le point I' se confond avec le point I.

La proposition précédente est donc entièrement démontrée.

Elle donne un moyen facile de mener à la cardioïde une tangente par un point quelconque de la tangente double, ou encore de lui mener une normale par un point quelconque de la droite BB' qui, il est facile de le voir, passe par les deux points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe.

En particulier, on en déduit le théorème suivant :

Théorème III. — Si^ par un point quelconque de la cardioïde, on mène la tangente et la normale à la courbe et si l'on désigne par T le point où la tangente rencontre la tangente double ÂA', par N le point où la normale rencontre la droite BB' qui Joint les points de la courbe où la tangente est parallèle à l'axe, les deux points T eï N sont vus du foyer suivant un angle droit.

(') Les poiDts Q et a', ainsi que la droite a'p', le lecteur est prié d'j suppléer.

7. Quelques remarques sur ce qui précède ne seront pas inutiles.

Au point a la normale rencontre l'axe à l'infini et la tangente le rencontre au point A; en désignant, pour un instant, par R' ie point de rebroussement de la courbe, on aura donc, en vertu de la relation (i),

ÂF "" AÏr'

d'où AR'= AR. Le point R est donc le point de robroussemcnt. Si l'on, considère l'un des points situés sur la droite BB' et où la tangente est borizontale, le point de rencontre de la tangente gvec l'axe est à l'infini et le point de rencontre de la normale est en B. En vertu de la relation (i), on aura donc

BR = ,->BF, ,roii BF = R,\ = i^.

Les tangentes que l'on peut mener à la courbe du point T sont, d'une part, la droite TM e.t, d'autre part, la droite Ta, cette dernière étant comptée deux fois.

Envei'tu du théorème I, on a donc

MTI + aA'Ti = Liiuii.TT; OU, si l'on pose,

IITI = tp et MTJJ = e,

An moyen des équations précédentes, il est facile d'établir un grand nombre de relations cnlreles cléments de la figure r; je me bornerai à mentionner les suivantes :

NM - NF -H ABsinç, TF =.TM-^ ABcoso,

8, Le point D étant déterminé par la relation BD ^ —, élevons en, ce point une droite DD' perpendiculaire à l'axe; soit K. le point où celte perpendiculaire coupe NF. Menons KL perpendiculaire à NF et NL parallèle à l'axe; abaissons enfin, du point de rencontre L de ces deux lignes, une perpendiculaire sur la normale MN.

yGoosle

Je dis que le point y, où elle rencontre cette normale, est te centre de courbure de la cardioïde au point M.

Soit, en effet, P le point où celle droite coupe FT, on démontrera aisément, en s'appuyantsurles propositions précédentes, que

par suite, le point P décrit, lorsque le point M se déplace sur la courbe, une droite perpendiculaire à l'axe cl dont le pied est à une distance

FC = iFB.

En se reportant à ce que j'ai dit plus haut, on voit aisément que la normale NM enveloppe une cardioïde ayant pour tangente double BB' et pour foyer le point F.

Le point de contact de la normale avec l'enveloppe est le point y ; ce qui démontre la proposition énoncée.

On voit aussi que la développée de la cardioïde est une cardioïde semblable à la proposée, le rapport de réduction étant - > proposition d'ailleurs bien connue.