Un autre mode de génération de la cardioïde mérite d'être

Soient [fig- 2) un cercle ayant pour centre F et un point fixe P Fig. 2.

pris sur celle courbe. Par le point P menons une sécante quelconque coupant le cercle en M; par le centre F menons une parai-

lèle à celte sécante rencontrant le cercle aux points A et B, joignons enfin MA et MB. Ces droites enveloppent, lorscm'on fait varier la direction de ia sécante, une courbe qui est évidemment de troisième classe et iinicnrsale.

Si l'on cherche les tangentes isotropes que, d'après la construction précédente, on peut mener à la courbe, on trouve facilement qu'elles passent par le point F; d'ailleurs ia courbe n'est évidemrment pas tangente à la droite de l'infini.

On en conclut que celte conrbe est de troisième classe, unicursale, et à foyer singulier triple, par conséquent c'est une cardioïde. Quelques propriétés intéressantes se déduisent du mode de génération que je viens d'indiquer.

Il est facile, en premier lieu, de trouver le point de rebroiissement de la courbe. Je remarquerai, à cet effet, que si, au point F, on élève une perpendiculaire au rayon FP, la droite HP est une tangente à ia courbe et qui !a touche au point I déterminé par la relation

Au point i, menons la normale à la courbe et soit K. le point où elle rencontre l'axe, en désignant par R le point de rebroussement de la cardioïde; on aura, en vertu de la relation (i),

d'où l'on déduit

Considérons, en second lieu, un point quelconque M du cercle; si, par r, on mène une parallèle à MP rencontrant le cercle aux points A et B, deux des tangentes que l'on peut mener du pointM à la courbe sont les droites MA et MB.

La troisième tangente s'obtiendrait en menant par le point P une parallèle à MF et en joignant au point M le point C où cette parallèle coupe le cercle.

On voit que les deux tangentes MA et MB sont à angle droit;

Théorème IV. — Si, d'un point quelconque du cercle K pas-

sant par le sommet de la cardioîde et ayant pour centre son foyer, on mène les tangentes à la courbe; deux de ces tangentes sont rectangulaires (').

10. Considérons (Jlg- 2) les deux poinls M et C qui aoot les -extrémités d'une corde tangente à ta cardioîde; on voit immédiaietnenl sur la figure que l'arc MH est la moitié de l'arc PC.

La cardioîde peut donc être considérée comme l'enveloppe de la corde gui Joint deux points mobiles sur un cercle, ces deux points décrivant le cercle dans le même sens et l'un ayant une vitesse double de la vitesse de l'autre.

Supposons que les deux points M el C se soient déplacés infiniment peu et soient venus en M' et C ; désignons par T le point de rencontre de MC et de M'C. On aura MM'= iCC; d'autre part, les triangles semblables MM'T el GC'T donnent

Théorème V. — La corde interceptée par lecercle K sur une tangente quelconque à la cardioîde est partagée par le point de contact en deux segments dont l'un est te double de l'autre-

ii. D'autres propriétés des normales à la cardioîde peuvent être déduites par des considérations entièrement différentes de celles qni précèdent, et en s'apptiyant seulement sur !a propriété suivante :

La cardioîde ayant un axe de symétrie et ayant pour points de rebroussement les ombilics du plan, tout cercle ayant son centre sur l'axe de symétrie ne rencontre la portion de la courbe située au-dessus de l'axe qu'en deux points distincts des ombilics.

C) Voir i ce sujet ma Note Sur les courbes unicursales de trot niqiiée à la Société mathématique en novembre 1877.'

De là résulte immédiatement la proposition suivante (') :

Théorème VÏ. — Étant pris deux points fixes quelconques A et B sur la cardio'ide, soit C un point mobile sur celte courbe; sur les milieux des cordes CA. et CB, élevons respectivement des perpendiculaires à ces cordes et soient T eîK les points où ces perpendiculaires coupent l'axe. Quelle que soit la position du point C sur la courbe, la différence

FÎ"" FK

demeure constante.

Démonstration. — Je supposerai, pour fixer les idées, que les points A, B, ainsi que le point mobile C, sont sur la partie de la courbe située au-dessus de l'axe; et, pour plus de clarté, je considérerai d'abord, au lieu de la cardioïde, une spirique quelconque, c'est-à-dire iine courbe du quatrième ordre, ayant un axe de symétrie et pour points doubles les deux ombilics du plan. Une spirique, comme on le voit aisément, jouit de la propriété qu'un cercle ayant son centre sur l'axe de symétrie ne rencontre la courbe qu'en deux points situés au-dessus de l'axe et distincts des om-

Cela posé, A et B désignant deux points fixes de la spirique et C un point variable sur cette courbe, par les milieux des cordes GA et CB élevons des perpendiculaires à ces droites ; soient I et K les points où ces perpendiculaires coupent respectivement l'axe de la spirique.

J'établirai d'abord que les points I et K déterminent sur l'axe, lorsque le point C se déplace, une division homographique.

En effet, le point I étant donné, le point G se trouve au-dessus de l'axe et à l'intersection de la courbe avec le cercle décrit du point I comme centre avec lA. pour rayon ; ce point est donc parfaitement déterminé, puisque ce cercle ne rencontre la courbe an-dessus de î'axe qu'en deux points distincts des ombilics.

( ') Les considëraiions qui suivent s'appliquent également aux coniques et aux anatlagmatiques du troisième et du quatrième ordre qui ont un axe de syméirie. Voir à ce sujet ma Note Sur les spiriques {Bulletin de la Société philoma-

Le point C étanl déterminé, le point K l'est également quand on se donne le point I, et l'on prouverait de même qu'à une position du point K correspond une position unique du point I; d'où il résulte que les points I et K déterminent sur l'axe des dissions hom ograp hiques.

Cherchons les deux points doubles. Le point C se déplaçant sur une des branches infinies qui passe à un ombilic m en se rapprochant indéfiniment de cet ombilic, le cercle passant par les points A et C, et symétrique par rapport à l'axe, a pour centre, à la limite, le point où la tangente en w, à la branche de courbe considérée, perce l'axe, c'est-à-dire le fojer singulier / correspofldant à cette branche de courbe. Ce point est, par la même raison, le centre du cercle limite passant par les points B, Cet symétrique par rapport à l'axe; ycst donc un poioldouble de la division homographique. Le même raisonnement s'appliquerait à la seconde branche de courbe.

Ainsi, quand on considère une spirique générale, les deux points doubles de la division homographique, formée par les points 1 et R, sont les foyers singuliers de la courbe.

Dans le cas particulier de la cardioïde, les points doubles à l'infini deviennent des points de rebroussement et les deux foyers singuliers viennent se réunir au foyer unique F de la courbe. La division homographique formée par les points I et K a donc deux points doubles coïncidents en F; d'où le théorème qu'il fallait démontrer.

12. Supposons que l'on fasse successivement coïncider le point mobile C avec A et avec B ; dans le premier cas, la perpendiculaire élevée au milieu de AC se confond avec la normale en A et, dans le second, la perpendiculaire élevée au milieu de BC se confond avec la normale en B.

On peut donc énoncer la proposition suivante : Théorème VIL — Étant donnés deux points quelconques A et B situés sur une cardioïde, menons les normales en ces points et, par le point milieu de la corde AB, une perpendiculaire à cette corde; soient respectivement a, b, i les points où ces droites rencontrent l'axe, le point i et le foyer F de la courbe divisent harmoniquement le segment ab.

En eïïel, en supposant que le point mobile C vienne successivement coïncider avec le point A et le point B et en appliquant le théorème précédent, on a

En particulier, si îe point B est un des points où la tangente double touche la cardioïde, le point de rencontre de la normale avec l'axe étant à l'infini, on a cette proposition :

Si l'on désigne par a le point où la normale en un point A de la cardioïde rencontre l'axe, et par i le point oit cet axe est rencontré par la droite élevée par le milieu de la corde, qui joint A à l'un des points où la courbe touche la tangente double, et perpendiculairement à cette corde, le 'point a est le fnilieu du segment FI.

13. Je m'arrêterai ici dans cette étude des propriétés des normales à la cardioïde. Dans une prochaine Note, je ferai l'applicatioa des mêmes principes à l'étude de diverses courbes remarquables de la troisième classe et de classes plus élevées.

LES NORMALES AUX SLBrACES DU SECOND ORDRE.

iVouvelles Annales de Mathématiques ; 1878.

1, Étant donnes une surface du second ordre K ayant pour équation

et lin point M ajant pour coordonnées a, p, y, on sait que l'on peut de ce point mener six normales à la surface, les pieds de ces normales étant déterminés par les équations

aM ^''' , '^T

oii o est une des racines de l'équation

Ces six points sont d'ailleurs déterminés par l'interjection de K avec la cubiqiie gauche H, délinle par les équations

\n~ hl^y ^' ~'h ~ ~^ "" "' \ï,^ 7^y^^~r "h ^^'

Cela posé, déterminons les quantités ^, r,, ^, P, Q, R, X, Y,

yGoosle

Z et G, de telle sorte que l'on ail identiquement