DU SECOND ORDRE

Bulletin de la Société philonialhigue; iSfiS,

\. On sait que les courbes gauches du quatrième ordre sont de deux espèces différentes; par les unes on ne peut faire passer qu'une seule surface du second ordre; par les autres on en peut faire passer une infinité et elles peuvent être définies comme l'intersection de deux de ces surfaces. Je ne m'occuperai ici que de ces dernières et, pour abréger le discours, je les désignerai sous le nom de biqiiadraligaes gauches, ou simplement de biquadratiques lorsqu'il n'j aura lieu de craindre aucune ambiguïté.

Par loule biquadratique gauche l'on pent l'aire passer quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre T conjugué par rapport aiis diverses surfaces du second ordre que l'on peut faire passer par la courbe. Considérons deux arêtes opposées de ce tétraèdre; il est facile de voir que toule droite, qui rencontre la courbe en un point m et s'appuie en même temps sur les deux arêtes considérées du tétraèdre, rencontre la courbe en un second point m'. Je dirai que les points m et m' sont conjugués, et j'appellerai simplement corde la droite qui joint deux points conjugués (I). Les diverses cordes de la courbe forment une surface réglée du quatrième ordre ayant pour lignes doubles les deux arêtes du tétraèdre; je désignerai cette surface par la lettre B.

(') Voir ma CoHiniunication du i4 mars 1868 â la Société pliilomalhique.

Comme, dans le tétraèdre T, il exisle trois couples d'arêles opposées, l'on voit que l'on peut grouper les points de la courbe de trois façons différenies; on obtiendra ainsi trois syslèmes de cordes formant trois surfaces réglées du quatrième ordre, la surface R et deux surfaces analogues que j'appellerai R) et R^. Je désignerai simplement les modes de groupement qui correspondent à ces trois surfaces par la notation (R), (R, ) et (Ra)-

A chaque point de la courbe ne correspond, dans un mode de groupement donné, qu'un seul point conjugué; mais, en tout, il lui correspond trois points dont chacun lui est conjugué dans un des trois modes dégroupement que j'ai déiînis plus haut.

Ces définitions permettent d'établir facilement les propositions suivantes ;

2. Étant donnée une droite quelconque rencontrant en deux points une biquadratique gauche, on penl mener par cette droite quatre pians tangents à la courbe. Chacun des points de contact a pour points conjngiiés les trois aulrcs points de contact, en sorte que, si l'on joint le premier point aux trois autres, on obtient les trois cordes, correspondant aux trois modes de gronpemenl, qui passent par ce premier point. Chacune de ces droites s'appuie donc sur deux arêtes opposées du tétraèdre T. La droite joignant deux points de contact pris arbitrairement et la droite joignant les deux autres points sont deux cordes du même système, en sorte qu'elles rencontrent les deux mêmes arêtes opposées du tétraèdre.

3. Si a, a' et b, b' désignent deux couples quelconques de points conjugués, les droites a, b et a', b' sont les génératrices d'une même surface du second ordre passant par la courbe.

i. Si, par une droite quelconque rencontrant la courbe en deux points et par trois couples quelconques de points conjugués, l'on mène des plans, les plans ainsi obtenus forment un faisceau en involution.

En particulier ;

Si, par une tangente quelconque à la courbe et par trois