Désignons par S la sphère dont l'équalion est

a^!+j.s + a2— 2X37 — aYj' — 3Z2-+- G = o;

les coordonnées de son centre sont évidemment X, Y, Z et G est la puissance de l'origine relativement à cette sphère. Elle contient, comme je l'ai dit, quatre des pieds des normales que l'on peut abaisser du point M. Soient D la corde qui joint les pieds des deux autres normales et A sa polaire réciproque par rapport à K. D'après une dénomination généralement adoptée, ^A est un axe relativement à K et aux surfaces du second ordre, qui forment avec elles un système homofocal; en d'autres termes, les deux droites D et A sont perpendiculaires entre elles.

De ce que j'ai dit plus haut il résulte que, si l'on considère Ç, ï;, \ comme des coordonnées courantes, la droite A est précisément déterminée par les équations (3), ou encore, si l'on pose, pour abréger,

(6) ^X = 3 + A, •j.Y=p-hli, 5Z=Y-f-G, par les suivantes

(7) A; + a = lî-ii-l-^' = Gi;-i-c::=X, avec la relation

3. Tirons de (7) les valeurs de ^, yi, i^ et portons-les dans (8); :n égalant à zéro le terme constant et le coefficient de X, il viendra

SECOND oHDni;. 4s5

Soient œ, y, z les coordonnées d'un quelconque des points ou D rencontre la surface du second ordre K, le plan tangent en ce point contient A, et son équation est

Remplaçant, dans celle équation, ^, vi, Ç par leurs vafeurs tirées de (7), il vient, en égalant à zéro, le lerme constant et le coefficient de )^

L'équation (12) est celle du plan diamétral contenant la corde D ; le plan, déterminé par l'équation (11), contient le point M en vertu de la relation (9); c'est donc le plan qui passe par les deux normales dont les pieds sont situés sur D; je le désignerai par P.

4. En général, pour abréger le discours, étant donné un plan quelconque ayant pour équation

j'appellerai centre de ce plan le point dont les coordonnées sont p, q. r et foyer de ce plan le point où se coupent les deux normales à K qui sont contenues dans ce plan. On voit que le plan P, dont j'ai parlé plus haut, a pour foyer le point M et pour centre le point m dont les coordonnées sont A, B, G.

La notion de centre d'un plan se présente fréquemment dans la théorie des normales aux surfaces du second ordre, et, à ce sujet, je rappellerai une élégante proposition due à Joachîmstbal :

Étant donnés, sur une surface du second ordre, tj-ois points a, 6, c, tels que les normales en ces points concourent en un même point M, le pôle du plan abc, relativement à cette surface, est le centre, relativement aux trois axes de la surface,

du plan qui passe par les pieds des trois autres normales que l'on peut encore abaisser du point M ( ' ) .

5. En adoptant les dénominations qui précèdent, il résulte immédiatement des équations (6) que le centre N de la sphère S est le point milieu du segment Mm.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Le centi-e de la sphère qui contient les pieds de quatre des normales que l'on peut abaisser d'un point donné M sur une surface du second ordre K, est le milieu du segment qui Joint le point M au centre du plan qui contient les deux autres normales.

6. Pour déterminer complètement la sphère S, dont on peut construire le centre au moyen de la proposition précédente, il suffit de connaître la puissance G de l'origine relativement à celte sphère, ou bien encore de connaître la sphère S, dont l'équation

Cette sphère 2 peut être facilement déterminée en s'appuyant sur la propriété suivante

Le point M et le pôle du plan P, relativement à la surface du second ordre K, sont deux points conjugués relativement à la sphère S, en d'autres termes le plan polaire de chacun d'eux, relativement à S, contient Vautre point.

Pour démontrer cette propriété, je remarque que le pôle du plan P, relativement à K, a pour coordonnées

le plan polaire de ce pôle, relativement à S, a poui

(') JoAOHLJisTiiAL, De quibusdam œqualionibus quarti ei sexU gradus guce in theoria liitearum, et super fieierum secundi gradus occurrunt (Journal de Crelle, t. 53, p. l'js).

et, en verUi de la relation (lo), il contient évidemment le point a, P, y; ce qui démontre la proposition énoncée,

7. La cubique ganche H rencontre la sphère S, d'abord aux quatre points où les normales concourent en M, puis en deux

autres points. Je dirai, poui

, que la corde qui joint ces

deux derniers points esl la corde supplémentaire de D.

Ii'exameo de l'équation (2) montre immédiatement que la corde supplomenlairc est constamment comprise dans le plan

où ^, vj, X, désignent les coordonnées d'un point quelconque de A. Remplaçons, dans l'équation précédente, ^, r,, "Q par leurs valeurs tirées de (7), et égalons à zéro le terme constant ainsi que le coefficient de X; nous aurons les équations suivantes, qui définissent la corde supplémentaire :

l^'iZ.

L'équation (i4) montre q corde supplémentaire est par

; le plan diamétral passant par la lèle au plan P. D'où la prO|)Osition

Les six pieds des normales, que l'on peut d'un point M abaisser sur une surface du second ordre, sont, ainsi que le point M et le centre O de la surface, situés sur une même ' cubique gauche H.

Si, par le point O, on mène un plan parallèle au plan qui contient M et les pieds de deux quelconques des normales, ce plan coupe la cubique en deux autres points. Ces deux points et les pieds des quatre autres normales sont situés sur une même sphère.

S. En désignant par ^, r,, Ç des constantes arbitraires, le pôle du

relativement à K, est le point (Ç, ti, Ç), dont le pian polaire, relativement à 2, a pour éi:[iialion

^l+yn + z!; + G = o.

Il résulte d'aitlenrs de ce que j'ai dit pins liant qne, si le plan

tourne autonr de la corde D, le plan

tourne autonr de la corde supplémentaire.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

La droite A et la corde supplémentaire de D sont polaires réciproques, relativement à ta sphère S.

9. Comme, dans la théorie des normales à une surface du second ordre, on a souvent à considérer les centres de divers plans (ces centres étant déterminés relativement ans a\es de la surface), il n'est pas inutile d'entrer dans quelques détails relativement aux propriétés de ces points.

En premier lieu, soit, p désignant un paramètre variable,

{a-hpa')x^{b-hpb')y-h{c-i-pc')s + d-\-pd''= o

l'équation d'un plan tournant d'une droite fixe.

Pour trouver le lieu décrit par le centre de ce plan, identifions son équation avec l'équalion

il viendra

d-\- çd u '^ ~^ 9^ „ d-\- çid'

d'où l'on voit que le centre décrit une cubique gauche passant par les sommets du tétraèdre 6 formé par les plans principaux et le plan à l'infini.

D'où les propositions suivantes :

Le lieu des centres des plans, qui passent par une droite fixe,

HUOTAOES Ml SECOND ORDRE. ^99

est une cubique gauche passant par les sommets du tétraèdre ® ; et réciproquement :

Si une cubique gauche passe par les sommets du tétraèdre &, les pians, dont ses divers points sont les centres, passent par une droite fixe.

En second lieu, considérons une droite quelconque dont un des points soit déterminé par les équations

"" rf -+- p (/' ' d-+- çid'^ d + çd'.

Le plan ayant pour centre ce point a pour équation

a-r r^a' b -i- fb' c-^-pc' d -i- ^d' '

et il est clair que, quand on fait varier p, il enveloppe une cubique gauctie ayant pour plans oscutateurs les plans qui forment les faces du tétraèdre 6.

D'où les propositions suivantes :

Les plans, qui ont pour centres les différents points d'une droite, enveloppent une cubique gauche inscrite dans le tétraèdre 0 ('); et réciproquement

Si une cubique gauche est inscrite dans le tétraèdre 0, le lieu des centres de ses divers plans osculaleurs est une ligne droite.