Je m'appuierai maintenant sur le lemnie qui suit

Lemme. — Si les sommets des deux tétraèdres sont situés sur une même cubique gauche, les huit faces de ces tétraèdres sont les plans osculateurs d'une autre cubique gauche.

Réciproquement, si les huit faces de deux tétraèdres sont les plans osculateurs d'une même cubique gauche, leurs huit sommets sont situés sur une autre cubique gauche.

(') J'entendâ par cubique gauc/ie insci ayant pour plans osculateurs tus faces de c

Il suffit évidemment de démontrer la premièie partie de ce Icinme, la seconde proposition étant corrélafive deJa première.

Pour la démontrer, je remarque que la cubique, qui contient les sommets des deux tétraèdres, étant une courbe unicursale, je puis supposer que les sommets du premier tétraèdre soient déterminés par les racines d'une équation d(T quatrième degré f{x)=:o, et les sommets du second par les racines d'une équation de même degré F(a7)=: o.

Cela posé, on voit que les racines de î'équation F(,r)-i-V(^0 = o,

oii ï. désigne un paramètre variable, déterminent sur la cubique les sommets d'une suite de tétraèdres, chaque point de la courbe étant d'ailleurs le sommet d'un seul de ces tétraèdres; d'oii il résulte que les faces de tous ces tétraèdres enveloppent une ctibiqne gauche^ puisque, par chaque point de la courbe donnée, on ne peut mener que trois plans osculateiirs à l'enveloppe.

En particulier, les faces des deux tétraèdres donnés sont des plans osculateurs de cette cubique gauche ; la proposition est doiic démontrée.

H. Considérons maintenant quatre plans dont les centres soient en ligne droite : d'après ce que j'ai démi;)nlré plus haut, les faces du tétraèdre T, déterminé par ces quatre plans, sont les plans osculateurs d'une cubique gauche inscrite dans le tétraèdre 6. Du lemme précédent il résulte que les sommets des tétraèdres T et 6 sont situés sur une même cubique gauche et, par suite, les plans ayant ponr centres les sommets du tétraèdre T passent par une même droite.

On peut donc énoncer la proposilion suivante ;

Si les quatre faces d'un tétraèdre ont leurs centres en ligne droite, les plans qui ont pour centre les sommets du tétraèdre passent par une même droite.

Et de même :

. Si les plans qui ont pour centres les sommets d'un tétraèdre passent par une même droite, les centres des faces de ce tétraèdre sont en ligne droite.

12. Si d'un point quelconque M de l'espace on mène les six normales à la surface du second ordre K, on sait que le |.>oint M et les six pieds des normales sont situés sur une même cubique gauche passant par les sommets du tétraèdre 0. Désignons par /), , />2,jf>3, •.-, /)o les pieds de ces normales.

Des considérations qui précèdent il résulte immédîalement que :

Si l'on forme un tétraèdre ayant pour sommets quatre quelconques des sept points M, p^ , p2, ■ - - , pt, les centres des faces de ce tétraèdre sont en ligne droite.

13. Considérons une droite quelconque E, normale à une surface de second ordre, ayant pour axes les axes de coordonnées 0;r, Oy el Oa. Le lieu des centres des plans qui passent par E est une cubique gauche L passant par les sommets du tétraèdre 0. Soit M un point quelconque pris sur cette normale; par ce point on peul mener à la surface cinq normales distinctes de E; soient y?), ^ai />3, Pi eVpi leurs pieds. Désignons parN, le centre de la sphère qui passe par les quatre points />a, /)a, pi etp^, de même par Na le centre de la sphère qui passe par les quatre points p,, p,, p^ el Pi, ... ; désignons enfin par /M|, in^, m^, m„ et mj les centres (les plans qui, passant par E, co ntiennent respectivement les poinls PuI>i,P3,PA etpy

D'après ce que je viens de dire, les cinq poinls m sont situés sur la cubique gauche L ; d'ailleurs, comme je l'ai montré préccdem ment (ii° 5), les poinls JV sont respectivement les milieux des segments Mm.

D'où l'on déduit immédiatement les propositions suivantes ;

.Si d'un point M on mène cinq normales quelconques à une surface du second ordre, ayant pour centre O, les cinq pieds de ces normales peuvent être regardés comme les sommets de cinq tétraèdres; les centres des cinq sphères circonscrites à ces tétraèdres sont situés sur une cubique gauche, passant par le milieu du segment MO et par les points situés à l' infini sur les axes de la surface.

Étant données une droite quelconque E et trois droites rectangulaires Ox, Oy et Oz, imaginons toutes les surfaces du

second ordre ayant ces droites pour axes et normales à E; si d un point M, pris arbitrairement sur E, on mène à l'une de ces sur/aces quatre normales distinctes de E, le lieu du centre de la sphère circonscrite au tétraèdre, formé par les pieds des normales, est une cubique gauche passant par le milieu du segment MO, et par les trois points à l'infini sur les axes Ox, OyetOz.

Il est à remarquer que, si le poinl M se déplace sur la droïle E, la cubique gauche conserve sa forme, ehaeun de ces points décrivant un segment de drdite parallèle à E et égal à la moitié du segnienl dont le point M s'est déplacé.

\A. Je ne développerai pas davantage les conséquences qu'on peut déduire des propositions précédenles, et je terminerai cette Note en établissant quelques formules qui peuvent être utiles dans les recherches sur les normales aux surfaces du second ordre.

Soient p' et p" les deux racines de l'équation (i) qui correspondent ans deux normales dont les pieds sont situés sur la droite D, et soit

En désignant, pour un instant, par p l'une quelconque de ces racines, les coordonnées du pied correspondant sont

et réquation du plan tangent en ce point est

Ce plan contient la droite A; tirons de {7 ) les valeurs de |, ïj, Ç et portons ces valeurs dans l'équation précédente. En 1 ■ zéro le coefficient de X, on obtiendra la relation

A(«-p) Biô-p)'^ C(c-p) et cette relation devant être satisfaite pour p = p' el p = p", il

vient, après quelques réclucLtons faciles,

F(p) = f-(G + a-,-i + e)p^a6o(£^ + i + i); d'où (15) G-p'+p'-o-i-.,

et

i F(») = (^ -»)(« 4) J=(o p') («-?'), F(S).(a^t)(i^o)^ .(S-p')(t-p-), F(o)-(i-ol(o-»)l-(o-p')(o-p-).

Puisque p" satisfait à l'équation (i), on a idenliquemeol •y t?'(i-p')' , cT(e-p')'

d'où, en remplaçant les dénominateurs par leurs valeurs tirées de (|6) et p' par p,

Celle équation devant être salisfaÎLe pour p =^ p' et p =: p", on en déduit celte nouvelle expression dii polynôme F(p),

ra(b^cy\Ha-ç)^+b{c-ayBHb-p)^ 1

D'où, en vertu des équations (i6), les relations suivantes qui déterminent les coordonnées a, ^, y du foyer du plan

— b)\bB

+ cG'--

-hb{c~

-bj^C'

~c)\cC

+ (lA! —

-ce)-]

ra)'B'H-c

-a)[af.

-i-ÛB!—

(i)îB!+-c

^quelles on peut joindre la

\- b(b - c - a)(c — a)^Ti^^ o{c - a - h)(a - b)^C^ a(.è — c)»A=-h6(c — a;sB»+ c((i — by-C