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l siiffisanL que !'eK|.)ressiori |sinesLnç + cos).cose)

(-GrfccosÇ, i-Gâfccosvj, rfa =EdMCOSY-FGrfuct>sî;

subsLiluaiU ces valeurs dans l'expression précédenle, elle donne

E sin6 costf.du ■+- G sin9 siiKp.dc;

et, pour qu'elle soil une difierenLielle exacte, il est nécessaire et suffisant que l'on ait

â. L'équation précédente ne renferme que les quantités E et G, dont l'expression ne change pas quand on déforme la surface S.

D'où la conséquence suivante :

Concevons que chaque rajon m conserve une position fixe par rapport an plan tangent en M, c'est-à-dire que sa projection sur ce plan tangent et l'angle qu'il fait avec ce plan demeiirent invariables ; cela posé, si les rayons émanant des divers points de S sont normaux à une même sur/ace et si l'on dé/orme S de façon que l'élément d'une courbe quelconque tracée sur dette sur/ace concerne la même valeur, chaque plan tangent à la surjace entraînant avec lui le rayon correspondant, les divers rayons dans leur nouvelle position sont encore normaux à une même surface.

3. L'équation (i) étant satisfaite pour certaines valeurs des fonctions cp et 9, elle est encore évidemment satisfaite quand on y remplace sin6 par A'sinQ, k désignant une constante arbitraire.

D'où ce beau théorème dû à Dupln :

Si des rayons normaux à une même surface se réfractent sur une surface S, ils sont encore, après leur réfraction, normaux à une même surface.

-4. Chaque rayon m se projette sur le plan tangent en M, suivant une droite faisant avec la droite M^ un angle égal à <f. Toutes ces projections enveloppent des courbes que l'on peut, pour abréger, appeler la. projection du système de rayons sur la surface. La fonction y étant connue, on obtiendra l'équation différeatielle de celte projection en posant » ^ /; d'où

Ea remplaçant » par i dans l'équation (i), il vient

OU, en remplaçant respectivement cosi et sine par leurs valeurs, Edu Gdi'