Esin8)ErfM-^(Gsine)Grf<'-EG^iiie^i=o, dc^ ' du

ou encore

du d dv d

Si 8 esl constant, on peut, dans la relation précédente, supprimer le facteur commun sinS, et, en remplaçant respectivement

^ et ^ par leurs valeurs - GM et EN, elle devient dv du '

di -hM du -t- î^ dv ^ o;

ce qui est précisément l'équation des lignes géodésiqites. D'où la proposition suivante :

Si des rayons émanant de chacun des points d'une surface S sont normaux à une même surface, et si chacun d'eux fait un angle constant avec le plan tangent au point de S dont il émane, la projection du système de rayons sur S est un système de lignes géodèsiques de cette dernière surface.

S,- La réciproque de celle proposition est égalcraenL vraie. Considérons sur S lia sysLÔme de lignes géodésiques, nous choisirons les axes des u et des C, de telle sorte que ces lignes géodésiques soient définies par l'équation c = const. Cela posé, cherchons les sj'slèmes de rayons normaux à une même surface et ayant pour projection le système considéré de lignes géodésiques. Dans ce cas, on peut poser E = i et G = ï^(«)i et l'angle désigné par tp est égal à zéro, l'équaiion (i) devient alors

Celte équallon élant identiquement satisfaite quand on fait 9 = const., la réciproque de la proposilion énoncée est démontrée. En . particulier, si l'on fait 6 = 0, on obtient ce théorème bien

Si l'on considère un système de /ignés géodésiques tracées sur une sur/ace, les tangentes aux différents points de ces lignes sont normales à une même surface.

-6. On satisfait également à l'équation (a) en prenant pour 9 une fonction arbitraire de u.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Étant donnés un système de lignes géodésiques tracées sur une surface et les trajectoires orthogonales de ces lignes, si par chaque point M d'une de ces lignes on mène une droite située dans le plan tangent à cette ligne en M et normal à la surface, Vangle de cette droite avec le plan tangent étant constant le long d'une même trajectoire orthogonale, mais variant du reste d'une façon arbitraire quand on passe de l'une de ces trajectoires à une autre, toutes ces droites sont normales à une même surface.