En di'signant respectivement par

n=(a, ?, T)=^ et w=\q — ijp=<,

Fcquatioii misle de la conique polaire de la droite de l'infini et l'équation mixte du pôle de cette droite relativement à M'^, les formules (6) et (i i) du Mémoire déjà cité donnent immédiatement,

(') Journal de MathématigueSf 3" ^éi'ie, l. I. Les i-asivot, i ce Mémoire sont injiciués par la désignation (F. B ).

posai

= -il

système de formi

.les sui

van

ia =

Qi,

t-hb\,~

2Ae,

ip =

ÔA,

-l-cAi^

Ci,

+ (/Ai —

2GQ;

, sous

. forme cant

)niquc.

ia =

ai,,

= -^adB,

.J'y joindrai encore les formules suivantes, que l'on déduit facilement des précédentes, et que j'écris sous forme canonique, en y faisant é et c égaux à zéro :

I dx dcc lia,-

\ dy"^'' 'dy~ ' dy^

-rfa,

On en déduit l'expression de jj et de q, en partant de l'idenlité 0 = AY^-aBp-i-Ca, (F. B. n" 18)

qui, dérivée successivement par rapport à ^ et j', donne les deux

relations

■(5) i&, = adp-h a-(^-~dx'^, 'Sei = — adij + da'—-ap-!.

(') En général, 7, désignant une fonction de a; et de j' du degré re, je poserai

3, En représentant par W(X, jj;) = o l'équation mixte de ta hessienne Jy* de ia courte, on a, sous forme canonique (F. E, ii"!)),

I aX o aX + ^ix I

I oX + ^|i pX -H ïji Xç — HP I

OU, en développant le second membre et en remplaçant p el q par leurs valeurs déduites des équations (5),

ou encore, en mnllîpliarit les deux membres par a^d'^^zA, el en remplaçant a, ft, y par leurs valeurs,

d'où, enfin, en passant de la forme canonique à la forme générale, AW-6Hft.,)""'-"''""^°l"^"'"--'«'''°''^°'"^6.U(X,|.). Pour abréger, je poserai

où 3t et '^ désignent des polynômes du cinquième degré enx ety, et l'équation mixte de la liessienne sera donnée par la formule suivante :

(7) AW(X, ^L)=H[X, ^}(Xl)-ixJ)-eîU(X,ix).

A. L'équation mixte du pôle de la droite de l'infini étant

on déduit, des équations (5), la relation suivante :

(S) A!ra = CTifÀ -f-(fAl|H-<ld[X(eAi— 3Aei)+ i^i^^i— 3i6i)]-

En désignant toujours par H ^= o l'équation de la conique polaire de la droite de l'infini, par IIq,^ o et 7i!„= o les équations de la conique polaire el du pôle de la droite

on aura (l'abord (F. B.,iiM8),

(9} in„= aiX'^ -i- df jJ.^ — ladui 0>,|i,

formule oii j'ai posé, pour abréger,

pms(F.B.,nMl),

rau=unu,j— cn„,, + ai(«na— cn|)-4-(i;2rrr.

SiibstituoDS, dans celle espressioo, les valeurs de ro, n, , 17:., . . ., tirées des relations précédentes, il viendra

-\-ui'^ad[\{%tii—\&,) + [a(9A|-"A0i)], OU encore, en verUi de l'idenlilé (6), (10) Aîra^-aXrî+rfii!j--2f«e'ï</:(),i| — [iî)-t- l^(Xî)~^t.T).

5. La courbe iS-' et sa hesslenne j^^ déterminent un faisceau tangentle!; en désignant, pour un instant, par Fo(m, c, iv) = o l'éqnalion tangenlielle de la hessîeiine, et par p un paramètre arbitraire, l'une quelconque des courbes de ce faisceau a pour équation tangenlielle F + 6pFo = o;jeia désignerai par la notation ^p. Son équation mi\te étant Up^^ o, la relation (7) donne immédiatement (u) iUp=6pH(X, |x)(X1))-,i:E) + (i-6pe2)U(X, IX).

Les deux courbes du sixième ordre K" et (G')"^ détermînentégalementun faisceau ponctwel; l'une quelconque des courbes de ce faisceau a pour équation

A — 6pes= o;

je la désignerai par la notation Kp, el je dirai que deux courbes des faisceaux (Kp) et (^p), données par la même valeur de p, sont correspondantes.

t). Cherchons d'abord la signification gcomélrique des polj-

nomes ^ et 15 qui s'introduisent, comme on l'a vn, d'une façon si simple et si naturelle, dans la recherche de l'équation mixte de la hessienne.

Soit M un poiiil du plan, dont les cooidonnées soient w ely; par ce point passe une courbe du faisceau (Kp), la valeur du paramèlre p correspondanl à celte courbe étant déterminée par la relation

Le coefficient angulaire U- de la tangente menée, en ce point, à la courbe est donné par la relation

i l'on remplace p par sa valeur déduite de l'cqualioii (ta),

De là et de l'équation (6) résulte l'identité suivante (,3) X^) — |/J = X'(AX-i-B[i)-i-ii'(BX-i-C[j.),

dont i! est facile de voir la signification géométrique.

7. A cet effet, je remarque que, du point M, on peut mener à la courbe M^ trois tangentes dont les coefficients angulaires sont déterminés par i'cquation U(X, ^) = o. L'équation PI(X, j;.) = o détermine également les coefficients angulaires de deux droites passant par le même point : je dirai que ces droites sont les hessiennes du, point M relativement à la courbe M.^. Je dirai encore que la droite passant par le point M et ayant pour coefficient angulaire ■= est Vaxe de ce point relativement à (a courbe. Cela posé, de l'équation (la) résulte la proposition suivante :

Sien un pointa du plan on considère V axe et les hessiennes de ce point relatii'ement à cette courbe, lor conjuguée harmonique de l'axe, relativement aux hessiennes, se confond avec la tangente, menée au point M, à la courbe du faisceau Kp, </«/ passe en ce point.

5l4 GÉOMÉTRIE.

8. Imaginons qu'une droite se meuve tangenliellement à la courbe Mp', le lieu des intersections de celle droite avec sa conique polaire relativement à M^ s'obtient en éliminant X et jj; entre l'équation mixte de ^p et l'équation H(X, [x) =:o(r. B., n"?); ou bien, en vertu de l'équation (lo), en éliminant X et [j. entre les équations

U(>„,0=o et ^-U(>., ,.t)=û.

Le résultat de l'élimination est évidemment

Si une droite se meut tangentiellement à une courbe du faisceau (Mp), le lieu des points oit elle rencontre sa conique polaire, relativement à ^', est la courbe correspondante du faisceau {-^,).

9. Soit un point M a^ant pour coordonnées a; et y, et situé sur la courbe R^; comme l'on a

H résulte de l'équation (lo) que les coefficients angulaires des tangentes menées de ce pointa la courbe Mç sont déterminés par l'équation

D'où ce théorème :

Les trois tangentes que, d'un point de la courbe ^o^ on peut mènera la courbe correspondante du faisceau (-^p), se confondent avec Vaxe et les hessiennes de ce point relativement à &^.

10. Considérons une courbe quelconque du faisceau (^p) ; une tangente à cette courbe rencontre la courbe correspondante du faisceau (Kp) en six points, dont deux sont situés sur la conique polairede la tangente, relativement à ^' (n" 8). On sait, d'ailleurs, en vertu de la proposition précédente, que, par chacun de ces sis points, la tangente considérée est un axe ou une hessienne de ce

poinL relativement à M^. Il est clair qu'elle est une hessicnne pour les deux points situes sur la conique polaire, et seulement pour ces points; elle est donc un axe pour les quatre autres. D'où les conséquences suivantes :

Toute tangente à une courbe du faisceau (Mp) rencontre la courbe correspondante dufaisceau (Kp) en six points; deux de ces points sont situés sur la conique polaire de la tangente, relativement à M* . Chacun des quatre autres jouit de la pro- . priété que son axe, relativement à &^, se confond avec la tangente considérée (* ).

L'enveloppe des axes, relativement à ^*j des divers points d'une courbe quelconque du faisceau (Kp), est la courbe correspondante du faisceau (^p)-

il. Considérons un point M du plan ayant pour coordonnées ^ et ï| ; l'équation de sa droite polaire, relativement à la courbe K'^, a pour équation

rfi (^A fi^

Relativement à cette droite, on a

d\\ di rfi

l rfi rfi rfi\ dL „ dh.

On voit, par ces formules, ((ue X et IJ s'annulent pour ^:= \ ctj^Yi.

Désignons par D la droite précédente, et par m soit pôle, relativement à la courbe ^^; l'équation mixte de ce pôle est (n°4).

(') Des théorèmes corrélatifs ont évidemment lieu rel a lire m eut aux courbes du traisième ordre; j'ai déjà donné sans démonstration ces théorèmes dans une Note Sur les courbes du troisième ordre, insérée dans le Bulletin de la Société mathématique, t. IV, p. iio.

el le coeiTicienl angulaire de la droile Mm est donné par la formule précédenie, quand on y fait :c-^^ety=^yi. Comme je l'ai fait voir, tel 1) s'annulent alors, et le coefficient angulaire cherché est déterminé par l'équation X^ — [x^ ^ o, où x et ^ doivent être respectivement remplacés par 5 et r^.

Étant donné un point quelconque du plan M, si Von désigne par m le pôle, relativement à M^ , de la droite polaire du pointM, relativement à K.", la droite Mm est Paxe du point M, relativement à jfi'.

1!2. L'équation mixte de la polaire de la droite

Supposons, comme ci-dessus, que la droite considérée soit la polaire, relativement à K.", du point dont les coordonnées sont ^, ïj, Ç. Les coefficients angulaires des tangentes menées de ce point à la conique polaire de la droite sont déterminés par l'équation précédente quand on y fait x^^^ eiy = -t\. Les fonctions r et I) devenant alors icientiquemeut nulles, l'équation se réduit à

Donc :

Etant donné un point quelconque M du plan, si l'on considère la droite polaire de ce point, relativement à la courbe ^"j puis la conique polaire de cette droite, relativement à la courbe il', les tangentes menées du point M à cette conique sont les hessiennes du point M, relativement à i^' ( ' ).

13, Soit M un point du plan ayant pour coordonnées x eiy. Supposons ce point place sur lahessienne de^*; on a alors 6=^ o,

( I ) Il est à peine nécessaire de rappeler que G= et K^ désignent ja piemiére notation étant employée quand on considère cet étant de iroisièrae classe, et lu seconde quand on la considère siiième degré.

et les coefficients angulaires des tangentes, menées du point M à Ja conique polaire de la droite w ^= o, sont déterminés par les racines de l'équation

Il est facile d'interpréter géométriquement ce résultat. Désignons, pour un instant, par ^j vi, X> 'es coordonnées courantes, et

l'éqiialion de la droite qui joint le point M au point où sa droite polaire, relativement à K.", rencontre la droite w^ o.

Le coefficient fr sedéterminera en exprimant que les trois droiies

-i;(/4-fta^) =

se coupent en un même point.

Un calcul facile donne

et de l'équation (i4) résulte immédiatement la conséquence suivante :

Etant donnée une droite quelconque D du plan,; et étant pris arbitrairement un point iM sur la cayleyenne de la courbe M^, désignons par m le point où la droite D est rencontrée par la droite polaire du point M, relativement à K". Cela posé, les deux tangentes, que l'on peut du point M mener à la conique polaire de D, relativement à ^*, sont les deux droites qui constituent la conique polaire de la droite Mm, relativement aux trois tangentes que l'on peut mener du point M à la courbe M^.

\h. Les coniques polaires, relalivemenl à .fi', des diverses droites qui passent par un point donné M du plan, sont inscrites

dans un quadriialère dont les côtés ont pour pôle M. Soient 5, T,, p les coordonnées du point M ; il est facile d'obteiiii' en coordonnées cartésiennes l'équation des côtés de ce quadrilatère.

Considérons, en effet, les deux droites x — \ ^=siK\.y — v; =o, qui se croisent ay point M ; relativement à la première droite, on aura, en posant, po tir abréger, X — ^3=X ?X y — ï|=Y, <i> = X, «=!, y = o, et, par suite, r = Xi| et l)— i + XAi. Relativement à la seconde, on aura w=; Y, w ~ o, c ^ i et, par suite,

je désignerai ces deux deratèros expressions par t' et 1)'.

Cela posé, les éqnations mixtes des coniques polaires des droites X = o et Y ^= o sont respectivement

<T ( X' -1- rfn [i' — 'i (i c/X 6). [A al"t?- +riiiV^ — affrfVeX^

Si l'on représente par T le résultant de ces deux équations, il est clair que T := o est l'équation des quatre tangentes communes aux polaires des diverses droites qui se croisent au point M. Une formule bien c

A'T =a'(i'{lo'w-1|l'— 2ade'XY)ï

= <ï'(;^(ïD'-i)ï')'-i-i'ie''^''Cï*-XE'){Yi, — Xa').

En remplaçant X, IJ, t et I)' par leurs valeurs données ci-dessus, on calcul facile donne

Yi) — Xr' -= Xi et Yo — Xo' = Y A. Il vient donc définitivement