Soient une surface de second ordre '^ r ~^ — - ^^i et ii

loinl M de celle surface dont les coordonnées soient ^, y;, s- Oji

et les coofdonjiées d'un point quelconque de la normale menée au point M sont données par les formules

où \ détermine un paramétre variable. Je supposerai \ déterminé de telle sorte que le point considéré soit un des centres de courbure principaux de la surface au point M.

En désignant, pour un instant, para;o,^o et^o les coordonnées de ce point, les pieds des normales abaissées de ce point stir la surface sont, comme on le sait, déterminés par les équations

t mettre sous

la forme

soi,

?ante

Ic-t-l

où p désigne une racine quelconque de l'équation

que l'on pei

Puisque, par hypothèse, le point {Xn, yai s») est un des centres de courbure principaux de la surface au point M, l'équatJon précédente en p doit avoir une racine double égale à \; cette équation est, en effet, en vertu de la relation (i), identiquement satisfaite quand on y fait p=;X; mais, de plus, la dérivée doit encore s'annuler pour celte valeur; d'où l'éqnation suivante

^^'^ a{a + X) + bib^V) ^ '<=(c + l) = "•

qui donne les valeurs de 1, déterminant les deu^i centres de courbure principaux au point M.

2. Les pieds des normales abaissées du point [xa, yo- ^o) sur la surface se trouvent sur lu cubique g-auche déterminée par les équations

multiplions la première de ces équations porSu, la deuxième par a:<, et la troisième par jo, il viendra

équation du cône ayant pour sommet le centre de la surface et contenant les pieds des norniales.

11 est clair que le plan tangent â ce cône au point (^, vj, Ç) est le plan passant par le centre de la surface et l'axe de l'indicatrice au point M, qui correspond au centre de courbure considéré.

L'équation de ce plan tangent esl

ou, en remplaçant a;,), yo et 3o parleurs valeurs et faisant quelques réductions faciles,

(3) ia + >.)ib-o)j^ib + r>(c~a)f^-^(c-^\)ia-h)^^ = o.

3. Soient X' et )>" les deux racines de l'équatîoa (2), eiies correspondent aux deux axes de l'indicalrice el aux deux centres de courbure principaux corrélatifs.

De ce que je viens de dire il résulte que le plan passant par le centre de la surface et l'un des axes de l'indicatrice a pour équation

Considérons le centre de courbure principal N correspondant à l'autre axe de l'indicatrice; les coordonnées sont données par les formules

Soient A, B, C les points où ta normale MN rencontre respectivement les plans principaux delà surface Oyz, Ozx et Oxy. Les coordonnées du point C sont

Par ce point menons un plan perpendiculaire à la normale et prenons son intersection avec la droite menée, par le point N, parallèlement à l'axe des z. En désignant par C ce point, un calcul facile montre que ses coordonnées ont pour valeurs

où j'ai posé, pour abréger,