DÉTERMINATION D

Menons de même, par le point B, un plan perpendiculaire à MN et désignons par B' le point où ce plan rencontre la droite menée par F parallèlemeni à l'axe des y; ses coordonnées seront données par les formules

Désignons enfin par A' le point oii la droite menée par le point N, parallèlement à l'axe des»:, rencontre le plan mené par A perpendiculairement à MN.

Le plan, passant par le centre O de la surface et les points B' et C, a pour écmation

0(i, en effectuant les calculs,

Cette éqiialion étant sj'métri(|ue par rapporl gux lettres x,y et s, on en conclut que le plan OB'C passe par le point A'. Ainsi, les trois points A', B' et C sont situés dans un même plan passant par le centre de la surface.

Je dis maintenant que ce plan passe par l'axe de l'indicatrice au point M, qui correspond au centre de courbure principal distinct de N.

L'équation (2) donne en eli'et l'identité suivante

'où, en faisant )> ^=^«,

„.„^-,,. i"-(a-b){J>-c.)ic-a)

yGoosle

ei de même

T.Ha — h) jb-c) le - {b + V){c-a)

Portons ces valeurs dans l'éqnalion (5), il viendra

t>:{a.-^\'){b-c) yih^V)(c-a) ;,(c + V)(a-b)

c'esL précisément, comme on le voit par la relalion (4)> l'éqiiaîion du plan passant par le centre de la surface et l'axe de l'indicatrice conjugué au centre principal de courbure distinct de N. La proposition est donc démontrée.

A. De là résulte immédiatement le théorème suivant ;

Théorème L — Soient un point M situé sur une surface du second ordre, MT et MT' les tangentes aux deux lignes de courbure qui se croisent en ce point. Par la droite MT' et le centre de la surface menons un plan P ; puis, au point où la normale éleoée au pointM. rencontre un des plansde symétrie de lasurface, un plan perpendiculaire à cette normale. Ce plan coupe le plan P suivant une droite; par cette droite menons un plan perpendiculaire au plan de symétrie considéré. Ce dernier plan rencontre la normale au centre de courbure de la section normale de lasurface gui est tangente à la droite MT (').

5. La normale, menée à la surface par le point M, rencontre les trois points de sjmétrie de cette surface aux points A, B et C. Menons par ces points des droites respectivement perpendicu-

(!) Ce théorème est l'exlension aux surfaces du second ordre d'une élégante proposition due à M. MétanliPini :

Si, au point où la normale, élevée en un point M d'une conique, rencontre un axe de cette conique, on mène une droite perpendiculaire à cette normale, la droite, passant par le point de rencontre de cette perpendiculaire avec le diamètre gui aboutit au point M, et menée perpendiculairement à. l'axe considéré, rencontre la normale au centre du cercle osculaleur en M.

laires à ces plans (le symétrie. Ces droites, qui oui pour équation

sont trois génératrices d'un hjperboloïde H ; je dirai que ces génératrices sont du système (G). Cet hyperboloïde admet tm autre sjslème de génération (G'); trois des génératrices de ce système sont, en paniciilicr, déterminées par les équations

Considérons le centre de coui'bnre iN de la surface, situé sur la normale au point N et correspondant à l'axe de l'indicatrice MT. La génératrice de l'hyperboloïde H, passant par Net appartenant au système (G), se détermine facilement par la condition qu'elle rencontre les droites définies par les équations (6); on trouve ainsi que ses équations sont

En les comparant à l'éqiiclloii (5), on en cniiclut immédiatement que cette génératrice est perpendiculaire au plan OMT'.

ïnÉoaÈME II. — La normale, menée en un point M d'une surface du second ordre, rencontre les plans principaux de cette sur/ace en trois points. Menons respectivement par ces points trois droites (D) perpendiculaires aux plans principaux ; elles déterminent un hyperboloïde .

Cela posé, on peut construire deux génératrices de cet

hyperboloïde, appartenant au même système que les droites (D) et perpendiculaires au diamètre passant par le point M. Ces génératrices rencontrent la normale aux deux centres de courbure principaux de la surf ace relatif s au point M et les plans menés par le diamètre, perpendiculairement à ces deux génératrices, coupent le plan tangent en M, suivant les axes de l'indicatrice.

Il est à remarquer qu'en désignant par MT el MT' les tangentes à l'indicatrice, et par N, N' les centres de courbure des sections normales correspondantes, le plan mené par OM perpendiculairement à la génératrice de l' hyperboloïde passant par le point N coupe le plan langent suivant la droite MT',

6. Les trois axes d'une surface du second ordre étant donnés de position, cette surface est déterminée si l'on se donne un de ses points m et la normale en ce point. Ces données sont donc saCfisantes pour obtenir en ce point les directions des axes de l'indicatrice et les centres de courbure principaux,

A cet effet, on peut, pour déterminer les axes de l'indicatrice, employer la construction suivante ;

Soient OA et OB deux des axes de la surface du second ordre, M la projection du point m sur le plan de ces axes, N et PQ les traces sur ce même plan de la normale et du plan tangent au point M ; PQ est, comme on le sait, perpendiculaire à MN.

Construisons le point de rencontre G des hauteurs du triangle OMN ; puis, de ce point, abaissons des perpendiculaires GH el GK. sur les axes OA et OB. La droite K.FI, gui Joint leurs pieds, rencontre PQ au point \. Menons du point I, au Cercle décrit sur MN comme diamètre, une droite touchant ce cercle au point T, et, du point I comme centre, décrivons un cercle ayant lï pour rayon : ce cercle rencontre PQ en deux points R ef R'.

Les droites MR et MR' sont les projections sur le plan OAB des axes de l'indicatrice au point M.

Démonstration. — Soient mL un des axes de l'indicatrice a

poinl m et F le centre de courbure de la section i

maie c

pondante. De

des normales, que l'on peut mener du point F à ont leurs pieds en m et un point m' situé à une distance petite, sur l'ase mL; on sait d'ailleurs que les pieds

des normales, le poinl F et les quatre sommets du tétraèdre formé par les plans principaux de la surface et le plan de l'infini, sont situés sur une même cubique gauche, lien résniteque, si l'on joint le point m au point m' , au point F et aux quatre sommets du tétraèdre, on a six droites situées sur un même cane du second ordre.

En d'autres termes, les droites menées par le point m parallèiement aux axes de la surface, la normale en ce point, le diamètre passant par ce poinl et l'axe de l'indicatrice mT, sont sur un même cône du second ordre. On voit que ce cône est circonscrit à un trièdre trirectangle; par suite, et en vertu d'une proposition bien connue, le deuxième axe mT'de l'indicatrice an point m, étant perpendiculaire aux deux génératrices mT et mV du cône, est également situé sur ce cône.

Considérons les traces de ces six droites sur le plan OAB; elles sont situées sur «ne même conique; d'où cette conclusion :

Les traces des axes de l'indicatrice sur le plan OAB sont données par l'intersection de la droite PQ avec l'hyperbole équilatère passant par les points O, M, N, et ayant ses asymptotes parallèles aux droites OA et OB.

Pour consLriiire ces points d'intersection, je remarque que le point G, où se rencontreut les hauteurs du triangle OMN, est situé sur cette hvfierbole. Si donc du point G on abaisse des perpendiculaires sur les ases OA el OB, la droile HK, qui joint leurs pieds, est le diamètre de l'hyperhole conjuguée à la direction PQ. En effet, cette droite fait avec les axes des angles légaux à ceux que fait avec ces axes la droite PQ, et, de plus, elle passe par le point milieu de la corde OG de l'hyperbole, corde parallèle à PQ. Le point I, où K.H rencontre PQ, est donc le point milieu des deux points R et K', où les axes de rindicalricc rencontrent la trace du plan tangenl.

Pour achever de déterminer ces points, je remarque que l'angle R/mR' estdroil, Considc^rons la perpendiculaire abaissée du point m sur PQ; le |)ied de cette perpendiculaire est le point S, où PQ rencontre MN. On a