SR.SR =^" = SM.SN

011 bien encore, si l'on désigne par u le centre du cercle dcciit sur MIN comme diamètre, et par p le rayon de ce cercle,

ïïï" — Ts' = S^* - ?2;

d'où l'on conclut que les cercles, (lécrits respectivement sur RR' et MN comme diamètres, se coupent à angle droit; et de là résulte immédiatement la construclion que j'ai donnée ci-dessus.

7. Pour déierminer maintenant les projections sur le plan AOB des contres de courbure principaux de la surface au point m, il suffit d'inscrire une parabole dans chacun des quadrilatères formés respectivement par lesdroites OA, OB, MN, MR et OA, OR,MN, MR'. Les points de contact de ces paraboles avec la droite MN sont les projections cherchées des centres de courbure principaux, et ils se déterminent, comme on le sait, très facilement au moyen de simples lignes droites.

Celte construction est justifiée par le théorème suivant :

Si, sur le plan de deux des axes de symétrie OA et OB d'une surface de second ordre, on projette la normale en un point m de cette surface et l'un des axe ■^e Vindicatrice en

ce point, la parabole, tangente aux projections de ces deux droites et aux axes OA. et OB, touche la projection de la normale en un point qui est la projection du centre de courbure de la section normale passant par l'axe de l'indicatrice considérée.

Démonstration. — Soient mL l'axe de l'indicatrice considérée et F le centre de courbure principal correspondant. Comme je l'ai déjà rappelé, deux des normales que l'on peut abaisser du point F sur la surface ont leurs pieds au point m et au point m' situé à une distance infiniment petite sur ML.

SoitjO le pied d'une autre normale quelconque passant par le point F; on sait que les sommets du tétraèdre Fmm'p et du tétraèdre formé par les plans principaux de la surface et le pian à l'infini sont situés sur une même cubique gauche.

Par suite, en vertu d'un théorème connu, les faces de ces tétraèdres sont osculalrices d'une autre cubique gauche, et le plan normal principal Fmm' est coupé par les sept autres faces suivant cinq droites tangentes à une même conique.

En d'antres termes, le plan normal principal passant par mL coupe les trois pians principaux de la surface suivant trois droites. Ces trois droites et la normale au point m sont tangentes à une parabole touchant la normale au point F; par suite, les projections des trois droites et de la normale sont tangentes à une parabole touchant la projection de la normale, au point qui est la projection de F; d'où la proposition énoncée ci-dessus.