PAR DES COURBES PLANES

Bulletin de la Société mathématique de France; 1877.

i. Dans tout ce qui suit, je considérerai z, 'C, el les quantités analogues comme des (juantités égales à l'uniié et introduites seulement pour rendre les formules homogènes.

Cela posé, A, B et C désignant trois polynômes du n'""' degré par rapport à x ely el liés par la relation (,) Aaï+Bj + Cî-o,

on voit qu'en faisant varier ^ et T|, i'éqaalion (2) A5 + B:i + GC = o

représente une infinité de courbes du /t'™' degré. Ces courbes forment un réseau, et l'on pourra généralement, par deux points pris arbitrairement dans le plan, faire passer une courbe appartenant à ce réseau.

Une telle courbe est déterminée par les valeurs particulières que l'on donne à ^, vi, Ç; il est clair d'ailleurs, en vertu de l'équaon(i), que le point M, dont les coordonnées sont ^, ïj, Ç, apparent à celte courbe; je dirai que le point M est son point prin-

Une courbe du réseau singulier (2) est évidemment déterminée par son point principal.

2. Toutes les courbes du réseau ont en commun tous les points communs aux courbes A = o et C ^ o.

Pour déterminer le nombre de ces points, je remarcfiie que, si l'on, désigne respectivement par P et par Q l'ensemble des termes du degré n, par rapport à x et y, dans A et B, on a identiquement, en vertu de la relation (i),

On a donc, U désignant un poljnomehomogène et du degré (n— i) par rapport à x &ty

(3) P^Uj' et Q=~U37.

Cela posé, les courbes A— 'o et B =:o se coupent en n^ points qui, en vertu de (i), se trouvent svt la courbe Cs = o ; des relations (3) il résulte, d'ailleurs, que (n — i) de ces points d'intersection se trouvent sur la droite de l'infini s ;^ o ; les (n^ — n-hi) autres points d'intersection se trouvent donc à la fois sur les trois courbes A ^: o, B := o et C = o.

D'où la conclusion suivante ;

Toutes les courbes du réseau passent par {n- — n -\- i) points fixes.

Je dirai que ces points sont les pivots du réseau.