QUI PASSENT PAR CINQ POINTS DONNÉS

SUR LES LIGNES SPffilQHES.

Nouvelles Annales de Mathématiques i 1871).

1. La courbe enveloppée par les axes des coniques qui passent par quatre points donnés est, comme on le sait, une courbe do quatrième degré et de la troisième classe doublement tangente à la droite de l'infini. L'équation d'une telle courbe ne renferme que six constantes arbitraires et, comme quatre points donnés introduisent huit constantes, il en résulte que la même courbe peut être regardée d'une infinité de fa(;ons différentes comme l'enveloppe des axes d'une conique assujettie à passer par quatre points. Je me propose de déterminer, pour une courbe donnée de la troisième classe doublement tangente à la droite de l'infini, les divers systèmes de quatre points qui permettent le mode de génération indiqué.

2. Je m'appuierai sur la proposition suivante, que j'ai fait connaître depuis longtemps dans les Nouoelles Annales :

Étant donnés sur une conique deux points fixes KetB et un

LES AXES DES CONIQUES. S^'j

point M mobile sur cette conique, si, aux points milieux des cordes AM et BM, on élève des perpendiculaires à ces cordes, le segment, intercepté sur l'un quelconque des axes de la conique par ces perpendiculaires, demeure constant quand le point M se meut sur la courbe.

Supposons que le point M vienne snccessivemenl coi'nci^ler avec deux points donnés C el D de la conique; on aura la proposition suivante :

A, B, C et D étant les sommets d'un quadrangle inscrit dans une conique, aux points milieux des cordes AC, BC, AD et BD, élevons des perpendiculaires à ces cordes et désignons respectivement par A', B', A" et B" ces perpendiculaires; cela posé, les segments, interceptés sur l'un quelconque des axes de la conique par les perpendiculaires A' et B' d'une part et par les perpendiculaires A" et B" d'autre part, sont égaux entre eux.

Il est clair que, le quadrangle ABCD étant donné, on pourrait considérer d'autres cordes que celles que je viens de considérer et qui donneraient lieu à des propositions semblables. En examinant cette question, on voit facilement que ces propositions sont contenues dans le théorème suivant ;

A, B, C eï D étant les sommets d' un quadrangle inscrit dans une conique, désignons par a, ^, -^ et t les centres des cercles circonscrits aux quatre triangles que l'on peut former avec trois quelconques de ces sommets. Cela posé, les trois couples de côtés opposés du quadrangle formé par les points a, p, yetS interceptent, sur l'un quelconque des axes de la conique, trois segments dont le point milieu est le même.

3. On sait, par le théorème de Desargues, que généralement les six. côtés d'un quadrangle sont coupés par une droite quelconque en six points en involulion; on voit ici que les six côtés du quadrangle «Py^ sont coupés, par un axe quelconque d'une des coniques passant par les quatre points A, B, G et D, en six points formant une involution dont un des points doubles est rejeté à l'infini.

Imaginons les deux coniques circonscrites au quadrangle ABCD

54 '^ CIÉOMÉTBIE.

et langcDtes ù cet axe; leurs poinis de contact avec cette droite sont précisément les deux points doubles de l'involiition dontje viens de parler; l'une de ces coniques est donc asymptote de l'ase.

En d'autres termes :

Un axe quelconque d'une conique circonscrite au quadraugle ABCD est une asymptote d'une conique circonscrite au quadrangle a^y^-

4, Pour abréger le discours, érant donné un quadrangle quelconque ABCD, je désignerai sous le nom de quadrangle dérivé le quadrangle dont les sommets sont les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC, BGD, CDA et DAB.

On peut donc dire que ;

L' enveloppe des axes des coniques circonscrites à un quadrangle donné est l'eni'eloppe des asymptotes des coniques circonscrites au quadrangle dérivé.

5. Soient a.'^fZ un quadrangle donné el K la courbe enveloppée par les asymptotes des coniques circonscrites à ce quadrangle.

Une telle courbe peut être engendrée de celte façon d'une infinité de manières. Considérons, en effet, une quelconque des coniques circonscrites au quadrangle et soient D et D' ses deux asymptotes; nous dirons que ces deux droites sont deux tangentes conjuguées de la courbe. Gela posé, on sait (*) que, si l'on considère deux couples quelconques de tangentes conjuguées, ces deux couples se rencontrent en quatre points formant un quadrangle Q elque les asymptotes des coniques circonscrites à ce quadrangle enveloppent la courbe K.

Si donc on construit le quadrangle Q' ayant pour dérivé le quadrangle Q, les axes des coniques circonscrites à Q' envelopperont la courbe K, et l'on obtiendra toutes les façons semblables d'engendrer cette courbe en considérant tous les quadrangles qui ont pour dérivés les divers quadrangles Q.

(') Voir SiElNEH, Veber eine besondere Cume drîtier Klasse uitd i/ierlen Grades (Journal de Crelle, t. 53, p. lîi) et Cbkmona, Sur i'hypocycloïde à trois rebroussements (Ibid., t. 64, p. loi}.

COURBE ENVELOPPÉE ■ PAR LES AXES DES CONIQBKS. 54y

6. La projection orthogonale d'une courbe R, sur un plan quelconque, est évidemment une courbe de la mèrae espèce.

Soient A, B, C et D quatre points donnés et R l'enveloppe des axes des coniques passant par ces points; désignons par R' la projection de celte courbe sur un plan P, celle projection peut être considérée comme l'enveloppe des axes des coniques passant par quatre points A', B', C et D' que l'on construira de la façon sui-

Dans le plan du quadrangle ABCD, imaginons le quadrangle dérivé apyS el projetons ce dernier quadrangle sur le plan P; soit k'P'y'S' celle projection. II est clair, d'après ce que j'ai dit plus haut, que les points cherchés A', B', C el D' seront les sommets du quadrangle qui a pour dérivé ct'P'y'Z'.

7. Il peut être utile dans certains cas de construire le quadrangle qnl a pour dérivé un quadrangle donné apyS.

Soient A, B, C et D les sommets du quadrangle cherché; en sorte que a désigne, par exemple, le centre du cercle circonscrit au triangle BCD, p le centre du cercle circonscrit au triangle ACD, etc.

Ou voit immcdiiitemenl que le symèlrique du point A relativement à la droite (33 est le point C et que le symétrique du point C relativement à la droite ^a est le point D; on a donc les deux relations suivantes

A Py H- C Py = 2 S^Y et C ?Y -t* D Py = ■^"■h '

les points A et D étant d'ailleurs aussi symétriques par rapport à la droite ûy, on a également

Chacune des trois relations précédentes doit être vérifiée à un multiple près de 2ti; on en déduit facilement

.iA{iY = 2(S^Y-«Pï) = ^S;i«, d où

A§Y = Sp*.

relation qui doit être vérifiée à un multiple près de tt.

Cette dernière relation détermine une droite contenant le

point A; la relation

que l'on obtient d'une façon analogue, détermine une seconde droite contenantle point que l'on peut ainsi construire facilement. On construirait de même les autres sommets B, G et D du quadrangle cherché.

8. Dans le cas particulier où le quadrangle a^yS est formé des sommels d'un triangle et du point de rencontre des hauteurs de ce triangle, ou sait que l'enveloppe des asymptotes des coniques qui passent par ces quatre points est une hjpocycloïde à trois points de rebroussement.

Le quadrangle ABCD, qui a pour dérivé «PyS, est alors le symétrique de ce dernier quadrangle relaiivemenl au centre de l'hjpocycloïdç.

On voit donc que :

Si l'on considère les Crois sommets d'un triangle et le point de rencontre des hauteurs de ce triangle, les asymptotes des coniques passant par ces quatre points enveloppent une kypocycloïde à trois points de rebroussement, tandis que les axes de ces courbes enveloppent la courbe symétrique de cette hypocyclo'ide relativement à son centre.

9. Considérons une conique quelconque C et un axe A de cette conique; soient M et M' deux quelconques de ces points. Par le milieu I du segment MM' menons une perpendiculaire à cette droite et soit il le point où cette perpendiculaire rencontre l'axe. Imaginons maintenant que la conique, en tournant autour de l'axe A, engendre une surface de révolution; les deux points M et M' engendrent deux parallèles de cette surface et la sphère contenant ces deux parallèles a pour centre le point H. Si donc on prend respectivement sur ces deux parallèles deux points arbitraires m et m', on voit que le plan, mené par le milieu du segment mm' et perpendiculairement à ce scgmenl, passe par le point H.

De cette remarque et de la proposition que j'ai rappelée plus haut (n" 2) résulte immédiatement le théorème suivant :

S tant donnés sur une surjace du second ordre de révolution

LES AXES DES GONIQDEa. 55l

deux points fixes A. et ^ et un. point mobile M, si, par les points milieux des cordes MA et MB, on mène des plans perpendiculaires à ces cordes, le segment que ces plans interceptent sur l'axe de révolution de la surface est un segment dont la longueur demeure constante lorsque lepoinlM.se déplace.

La même propriété a lieu évidemment relativement à une courbe quelconque tracée sur une surface de révolution du second ordre, lorsque l'on considère sur cette courbe deux points fixes A et B et un point mobile M.

En particulier :

Une courbe quelconque étant tracée sur une sur/ace de révolution du second ordre, considérons deux points quelconques M et N situés sur cette courbe. Menons les plans normaux à la courbe aux points M et N et désignons respectivement par m et n les points oit ces plans normaux rencontrent l'axe de révolution de cette sur/ace; soit de plus H le point où le plan mené par le milieu de la corde MN et perpendiculairement à cette corde rencontre cet axe. Cela posé, le point H est le milieu du segment mn.

iO. Considérons une ellipsimbre droite ('), c'est-à-dire la courbe résultant de l'intersection de deux surfaces du second ordre ayant trois axes commiins que l'on peut appeler les axes de l'ellipsimbre.

On sait que cette courbe peut être placée sur une surface du second ordre de révolution ayant l'une quelconque de ces trois droites pour axe de révolution.

Donc :

Etant donnée une ellipsimbre droite et deux points quelconques M e( N pris sur cette courbe, les plans menés normalement à la courbe aux points M etN interceptent sur les trois axes de l' ellipsimbre trois segments; le plan passant par leurs points milieux passe par le point milieu de la corde MN et lui est perpendiculaire.

( ' ) ExpresaEon employée d'abord par Frézier et adoptée par M. de la Gournerie dans ses Becheixhes sur les surfaces tétraédrales.

H. Soit S une surface de révolution du second ordre ayant pour axe la droite A, et soient A, B, C el D quatre points queIconf|ues situés sur cette surface. Les plans menés par les milieux des cordes AB et BC et perpendiculairement à ces cordes interceptent sur l'axe A un segment qui (n" 9) est égal au seg'ment intercepté sur la même droite par les plans menés, par les milieux des cordes AD et DG, perpendiculairement à ces cordes; d'autres propositions semblables s'obtiendraient en considérant les diverses droites qui joignent deux à deux les sommets du tétraèdre ABCD.

Ces diverses propositions peuvent être résumées dans le théorème suivant :

A, B, C e^ D étant les sommets d'un tétraèdre inscrit dans une surface de révolution du second ordre, considérons les perpendiculaires abaissées sur les faces de ce tétraèdre par le centre de la sphère qui lui est circonscrite; les trois couples de plans opposés que l'on peut mener par ces quatre droites interceptent sur l'axe de la surface trois segments dont le point milieu est le même.

En d'autres termes :

Si l'on désigne par e le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD et si l'on mène par le point e une parallèle à l'axe A, le cône du second degré, ayant pour sommet t et contenant la parallèle dont je viens de parler ainsi que les perpendiculaires aux /aces du tétraèdre, est asymptote à l'axe A.

Le plan passant par A et le sommet s, est donc tangent au

12. Les axes des diverses surfaces de révolution du second ordre que l'oo peut mener par quatre points donnés A, B, C et D forment un complexe dont il est facile de trouver, d'après ce qui précède, les propriétés les plus essentielles.

Désignons, comme ci-dessus, par e le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD et par A', B', C et D' les perpendiculaires abaissées du point s sur les faces du tétraèdre.

Les droites du complexe, situées dans un plan donné P, s'obtiendront facilement; si l'on appelle a', ^', Y et 5' les points où ce

plan est percé par les droites A', B', C et D', ce sont les asymptotes des coniques passant par les quatre points a', ^', y' et S'. Ainsi les droites du complexe, situées dans le plan P, enveloppent la courbe de troisième classe étudiée dans le § I.

Pour obtenir les droites du complexe passant par un. point donné O, imaginons les divers cônes du second ordre qui renferment les droites a', p', y' et S', et par O menons les plans langents à ces cônes ; les arêtes de contact forment un cône du troisième degré qui, transporté parallèlement à lui-même, de sorte que son sommet vienne en O, donnera le cène du complexe.

On voit que ce cône ne varie pas et se déplace parallèlement à lui-même lorsque le point O se meut sur une droite passant par le centre e de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.

13. Étant donné un système de cinq points A, B, G, D et E, il est facile de déterminer une surface de révolution du second ordre passant par ces points et ayant pour axe une droite parallèle à une droite donnée i.

Soient, en effet, a, ^, y, 8 et e les centres des sphères circonscrites aux cinq tétraèdres que l'on peut former avec les cinq points donnés, a étant par exemple le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre BCDE, ^ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ACDE, etc.

Par le point et, menons une parallèle i' à A et imaginons le cône du second ordre (a) ayant pour sommet a et pour arêtes les droites A', a^, ay, «S et as; par le point p, menons de même une parallèle A" à i et imaginons Je cône du second ordre (p), ayant pour sommet ie point ^ et ayant pour arêtes les droites A", pa, ^y, pS et ft£. Ces deux cônes, comme on le voit, ayant en commun la génératrice o.p, se coupent en outre suivant une cubique gauche.

Cela posé, les plans tangents menés respectivement aux cônes (a) et (P) le long des arêtes A' et A" se coupent suivant une droite qui est l'axe d'une surface de révolution du second ordre passant par les points A, B, C, D et E.

a. On déduit encore de là la proposition suivante ;

Cinq points étant donnés sur une surface de révolution du second ordre, les cinq centres des sphères circonscrites aux cinq

tétraèdres que l'on peut former en considérant quatre quelconques de ces points sont sur une cubique gauche ayant pour asymptote l'axe de lasurface.

D'où l'on conclut que le système de droites formé par les axes des diverses surfaces de révolution du second ordre passant par cinq points donnés se confond avec le système formé par les asymptotes des cubiques gauches passant par cinq autres points fixes, ces derniers points étant les centres des sphères circonscrites aux tétraèdres déterminés par les cinq premiers points.

ni.

15. Les théorèmes qui précèdent sont des cas particuliers de théorèmes pins généraux relatifs aux lignes spiriques et aux surfaces de révolution engendrées par la rotation de ces lignes autour de leur axe.

On appelle ligne spirique (') une courbe plane du quatrième ordre qui possède un axe de symétrie et qui a pourpoints doubles les deux ombilics du plan.

Cette courbe a deux foyers singuliers situés sur son axe de symétrie. Si ces deux foyers coïncident, la courbe est un ovale de Descartes; dans le cas où l'un des foyers singuliers est rejeté à l'infini, la courbe devient une cataspirique et elle n'est plus que du troisième degré. Enfin, si les deux foyers singuliers sont rejetés à l'infini, la courbe devient simplement une conique.

Cela posé, je m'appuierai sur la propriété suivante, que j'ai énoncée dans ma Note Sur quelques propriétés des lignes spiriques {loc. cit.) :

Etant donnés deux points fixes A et B situés sur une spirique et un point M mobile sur cette courbe, si, par les milieux des cordes MA. et MB, on mène des droites respectivement perpendiculaires à ces cordes, ces perpendiculaires déterminent sur

(') Voir, sur la théorie des lignes spiriques, le Mémoire de M. de la Gournerie. Sur les lignes spiriques, inséré dans le Journal de Liouville, a* série, t. XIV; ma Note Sur quelques propriétés des lignes spiriques, insérée dans le Bullelin de la Société philomathique {noyembre i8Sg) et ma Note Sur la cardioïde {Nouvelles Annales, 1878).