LES AXES DES CONIQUES

l'axe de la courbe deux divisions homo graphiques dont les points doubles sont les foyers singuliers situés sur cet axe.

D'où la proposition suivante ;

Un quadrangle étant inscrit dans une spirique, les trois couples de côtés opposés du quadrangle dérivé rencontrent l'axe de la courbe en siœ points en involution, les deux points doubles de cette involution partagent harmoniquement le segment déterminé par les deux foyers singuliers situés sur l'axe.

Ce que l'on peut encore énoncer ainsi :

Un quadrangle étant inscrit dans une spirique, les sommets du quadrangle dérivé et les deux foyers singuliers, situés sur l'axe de la courbe, sont sur une même conique.

16. Considérons la surface de révolution S engendrée par la rotation d'une spirique autour de son axe de symétrie; nous obtiendrons facilement les théorèmes qui suivent :

Une surface S étant circonscrite à un tétraèdre ABCD, si, du centre de la sphère circonscrite à ce tétraèdre, on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces, ces quatre perpendiculaires et les droites qui joignent le centre de la sphère aux deux foyers singuliers de S sont situées sur un même cône du second ordre.

Une surface S passant par cinq points donnés, considérons les centres des cinq sphères circonscrites aux tétraèdres que l'on peut former en prenant quatre quelconques des points donnés; ces cinq centres et les deux foyers singuliers de la surface S sont situés sur une même cubique gauche.

SUR Ll RELiTION ODI EXISTE ENTRE DN CERCLE

ET LES ÉLÉIIEITS D'IIIE COVIOUE IiVSCHITE MNS CE TRUNCLB.

Nouvelles Annales de Mathématiques ; r

■1. Soit un triangle inscrit dans ui

1 cercle C et circon

scrit à une

conique K; si celte conique est u:

ne parabole, on sa

it que son

foyer est sur le cercle.

Laissant ce cas de côté, j'énoncef

ai la proposition si

uvante :

Soient F e( G les deux foyers de la conique, F' le point réciproque du foyer F relativement au cercle et O le centre de ce cercle; si, par le point F, on mène une droite parallèle à OG, cette droite rencontre GF' en un point R tel que le produit GR X GF' est égal au carré de l'axe qui renferme les deux foyers.

2. Pour démontrer cette proposition, je remarque que Ton peiit, d'après un théorème bien connu et dû à Poncelet, inscrire dans le cercle C une infinité de triangles circonscrits à la conique. En désignant par I et J les deux ombilics du plan, on sait que le cercle passe par ces deux points; on peut donc construire un triangle inscrit dans le cercle circonscrit à K, et dont l'ombilic I soit l'un des sommets. A cet effet, je mène par les foyers F et G les droites isotropes FI etFJ qui sont tangentes à la conique; ces droites rencontrent respectivement le cercle aux points m et n, et la droite mn est tangente à K.