Je rappellerai ici quelques notions très simples que j'ai

lE COLIQUE. 557

exposées dans une INoLe publiée précédemmenl dans les Nouvelles Annales ('). Un point quelconque A étant donné dans le plan, menons les deux droites isotropes Al el AJ qui se croisent en ce point, et désignons respectivement par a el par a' les points réels situés sur ces droites.

Il esl clair que ces points sont parfaitement déterminés quand m se donne le point A; réciproquement, ces points déterminent complètement le point A, et l'on peut dire que aa' est son segment représentatif, a étant l'origine du segment et a' en étant l'extrémité.

Ceci posé, si trois points sont en ligne droite, les deux triangles formés respectivement, par les origines des segments représentatifs de ces points et leurs extrémités, sont semblables et inçersement placés.

En second lieu, si un point imaginaire est situé sur un cercle réel, les extrémités de son segment représentatif sont réciproques par rapport à ce cercle.

i. Il résidte de là que, si l'on désigne respectivement par F' et G' les points réciproques des foyers F et G relativement au cercle C, les points m et n ont respectivement pour segments représentatifs FF' et GG'.

Je construis maintenant le point symétrique du point P relativement à la droite mn. A cet effet, par le point F, je mène la droite isotrope Fi qui passe par le point m, puis par le point m la droite isotrope mj qui contient le point réel F'; je mène ensuite la droite isotrope FJ, puis, en appelant p le point où elle rencontre la droite mn, la droite isotrope />I, et le point fp, où se rencontrent niJ et pi, est le point cherché. Si R est le point réel situé sur pi, on voit que son segment représentatif est RF'.

Pour obtenir le point R, je remarque que les trois points p, m et n étant en ligues droites et étant respectivement représentés par les segments RF, FF' et GG', les uiangles RFG el FF'G' sont semblables et inversement placés. D'où il suit que le point R est

(') Sur l'emploi des imaginaires en Géométrie {Nouvelles Annales de Mathématiques, a" série, t. IX; 1870J.

l'inlersccLion de la droite GF' avec la droite menée par le poiol F parallèlement à GG'. Si l'on remarque en effet c|ue le quadrilatère FGF'C est inscriptible dans un cercle, on en conclut sans

peine que les angles FGR et F'G'F sont égaux comme inscrits dans un même arc de circonférence; parla même raison, l'angle

F'F<? est égal à l'angle F'GG el ce dernier est égal par construction à l'angle FRG. Les angles FRG et F'FG' sont donc aussi égaux; par suite, les triangles RFG et F F' G' sont semblables, et, comme ils sont évidemment inversement placés, le point R est le point réel situe sur la droite isotrope pi.

5, Le point tp étant symétrique de F relativement à la droite mn, qui est une tangente de la conique K., est situé sur le cercle décrit autour du foyer G comme centre avec un rajon égal à l'axe de la conique qui contient ce foyer.

Le point f est d'ailleurs représenté par le segment RF'; on en conclut d'abord que la droite RF' passe par le point G, ce qui résulte de la construction même par laquelle on a déterminé le point R, puis que le produit GR X GF' est égal au carré de l'axe dont je viens de parler.

D'où la proposition que j'ai énoncée au commencement de celte Note.

6. Cette proposition peut s'énoncer d'une façon un peu (HHiirente :

Construisons le cercle passant par le point F' et tangent en G à la droite OG; si l'on désigne par <!» le second point de rencontre de ce cercle avec l'axe FG, par H le centre de la conique, par na la longueur dé l'axe de celte courbe gui renferme les foyers F et G et par zb la longueur de l'autre axe, on a la relation

(i) HF.H* = «î+6s,

en sorte que les points F eï * sont réciproques relativement au cercle qui est le lieu des points d'où l'on voit la conique sous un angle droit.

EXISTE ENTRE UN OEBOLE ET LES ÉLÉMENTS C'UNE CONIQUE. 55g

On peut remarquer, en effet, que la droite FH étant parallèle, à )a droite OG, le quadrilatère FRF'$ est înscriptible dans une circonférence de cercle; on a donc

GF.G'J' = GR.GF'=4a^

d'où, par une transformation facile, la relation énoncée ci-dessus.

7. Comme application, proposons-nous, étant donné un point O du plan, de conslniire un cercle ayant ce point pour centre et dans lequel on puisse inscrire un triangle circonscrit à la conique K.

Construisons le point* déterniioé parla relation (i), et faisons passer par les points * et G un cercle qui touche ia droite OG. Ce cercle rencontre la droite OF en deux points F' et F"; de là deux solutions du problème proposé.

En premier lieu, on a comme solution le cercle relativement auquel les points F et F' sont réciproques, et son rayon R' est déterminé par la relation

On a comme seconde solution le cercle relativement auquel les points F et F" sont réciproques, et son rayon R" est déterminé par la relation

R''î= OF.OF'.