SUR LA RELATION QUI EXISTE ENTRE UN CERCLE
ET LES ÉIÉWENTS mW COKIQIE INSCUIIE DANS CE OlAIllilUTÈRE-
Noiiiieiles Annales de Malltemaliques ; 1879.
1. Dans Lont ce c[ui suit, pour abréger les démonsLralions, je supposerai que l'on considère uiie conique et un cercle réels {ou du moins dont les équations soient réelles). Les résnitats obtenus s'étendent évidemment au cas où ces courbes seraient imaginaires ; il suffirait d'ailleurs de quelques modifications légères pour appliquer au cas général les considérations sur lesquelles je m'appuie.
2. Je supposerai d'abord que la conique donnée soit une parabole P. En désignant par G le cercle donné, on sait, d'après Poncelet, que si l'on peut circonscrire à P un quadrilatère dont les sommets soient situés sur C, on peut lui circonscrire une infinité de quadrilatères jouissant de la même propriété. Le sommet d'un de ces quadrilatères peut être pris arbitrairement sur le cercle.
Soit I un, des ombilics du pian, les deux tangentes menées de ce point à la parabole sont, d'une part la droite de l'inlini qui rencontre le cercle à l'autre ombilic J, et d'autre part la droite FI qui passe par le fojer de la parabole. Les tangentes issues du point J sont la droite de l'infini et la droite FJ. Désignons respectivement par a et j3 les points oii les droites isotropes FI et FJ rencontrent le cercle; il est clair que l'on obtiendra la condition nécessaire et suffisante pour que l'on puisse inscrire dans le cercle un qoadriSalère circonscrit à la parabole, en exprimant que la droite «(3 est tang-ente à P, ou bien que le symétrique de F relativement à cette droite est sur la directrice de P.
Ce point symétrique est évidemmeul le point réciproque de F relativement au cercle C; d'où la proposition suivante :
Étant donnés le cercle G et une parabole P, si l'on peut inscrire dans le cercle un quadrilatère circonscrit à la parabole, le point réciproque du foyer de P relativement au cercle est situé sur la directrice de cette courbe.
3. On sait (') que, si l'on considère un quelconque des quadrilatères circonscrits à P et inscrits dans C, le point de rencontre Q des diagonales de ce quadrilatère est fixe et ne dépend pas de la position du quadrilatère considéré; c'est d'ailleurs le point de rencontre de deux cordes communes aux deux courbes.
Si l'on considère, comme précédemmeni, le quadrilatère IJap, on voit que le point fixe Q est l'intersection des droites isotropes pi et aJ; ce point est donc le réciproque de F relativement au cercle C, et il est situé sur la directrice.
4r. En particulier, si d'un point M, pris dans le plan de la parabole, on lui mène deux tangentes qui touchent celte courbe aux points A et B, on sait que l'on pent inscrire dans le cercle déterminé par les frois points M, A et B une infinité de quadrilatères circonscrits à P; on peut donc, relativement à ce cercle, énoncer les propositions suivantes ;
Le point réciproque du foyer de P, relativement au cercle C circonscrit au triangle MAB, est sur la directrice de P; il est le point d'intersection de la corde AB commune aux deux courbes, de la corde qui passe par leurs deux autres points de rencontre et de la tangente menée en M au cercle C.
5. Considérons maintenant une conique K. quelconque ayant pour foyers réels les points F et G; je désignerai par -la la longueur de l'axe contenant ces foyers, par aè la longueur de l'autre axe, et par ac la distance FG, en sorte qu'entre ces quantités on a, suivant la notation habituelle, la relation
C) Porcelet, Proprie
lE CONIQUE. 563
Puisque l'on peut inscrire dans le cercle C ime infinilé de quadrilatères circonscrits à ta conique K, on peut choisir arbitrairement sur ce cercle le sommet d'un de ces quadrilatères. Prenons l'ombilic I; les tangentes menées de ce point à la conique passent par les foyers F et G et rencontrent respectivement le cercle en deux points a et ^ ; en vertu de la propriété énoncée, il existe sui' ce cercle un troisième point S, tel que les droites aS et pS sont tangentes à la conique K.
Déterminons d'abord le point symétrique de F relativement à a3. Je mène à cet effet par le point F la droite isotrope du système (!) qui rencontre aS au point a, puis par le point o: la droite isotrope du système J; je mène en second lieu par le point F la droite isotrope du système J qui rencontre «S en un point e, pois par le point e la droite isotrope du système 1. Les droites aJ et el se coupent en un point a qui est le symétrique du point F.
Pour déterminer le segment représentatif de ce point imaginaire, je remarque que les points a, S et s sont en ligne droite. Le segment représentatif du point a. est FF', si l'on désigne par F' le réciproque du foyer F relativement au cercle C; le segment représentatif du point tp a pour extrémité le point F' et pour origine un point R qu'il s'agit de déterminer. Quant au point S, comme il se trouve sur le cercle C, il est représente par un segment DD' dont les extrémités sont deux points réciproques relativement à ce cercle; le point e a d'ailleurs pour segment représentatif RF.
Puisque les points a, 3 et e sont en ligne droite, les deux Lriangleg FRD et F'FÛ' sont semblables et inversement placés, et, le quadrilatère FF'DD' étant inscriptibîe, on voit immédiatement que le point R est le point de rencontre de F'D avec la droite menée par le point F parallèlement à OD.
6. Semblablement, si l'on désigne par -^ le symétrique de G relativement à ^S et par G' le réciproque de G relativement au cercle C, on voit que y est représenté par le segment SG', en appelant S le point de rencontre de G'D avec la droite menée par le point G parallèlement à OD.
Je ferai remarquer maintenant que, la droite iS étant tangente à la conique K, le point tp est situé sur le cercle réel décrit du point G comme centre avec un rayon égal à 2«; donc ;
1 " La droite F'D passe par le point G ; 2° On a la relation
GR.GF'=4a'.
De même, la droite j3S étant tangente à la conique K, le point f est situé sur le cercle réel décrit du point F comme centre avec un rajon égal à aa; donc :
1° La droite CD passe par le point F;
2" On a la relation
FS.FG'= 4a^.
7. De là résulte que le point D est l'intersection des droites FG' el GF' el l'on peut énoncer la proposition suivante :
Théouème. — Considérons un cercle C et une conique K jouissant de la propriété que l'on puisse inscriredans lecercle un quadrilatère circonscrit à la conique; soient O le centre du cercle, F' et G' les points réciproques relativement au cercle des foyers F et G de la conique, D le point de rencontre des droites FG' et GF'.
Si l'on désigne par R le point de rencontre de F'G avec la droite menée par F parallèlement à CD, le produit GR.GF' est égal au carré de l'axe de K qui contient les foyers F et G.
8, On obtient ainsi la relation
[I) GR.GF'= 4<iî,
qu'il est aisé de transformer de façon a ne mettre en évidence que le raj'on du cercle et les côtes du triangle OFG.
Soit en etï'et R le rajon du cercle, el posons, pour abréger,
0F = u, 0G = «, F0^ = w, 6rS'= ÊiGF"'=a et OFë == OG'F = p. La retalion (i) peut se mettre sous la forme suivante :
GF'(GD + DR) = 4a=.
Or on a cvidemmeni
yGoosle
EXISTE ENTRE UN CERCLE ST LBB itLéMGNrS d'uNE CONIQUE, 565
€1 îes deux triangles semblables OF'D etFF'R donnent
En remarquant que on déduit de là
et comme
sin jî OF up siiTi ~ OG' ^ R''
. On trouve aisément
on en déduit la relation
4a'(R'~«''t'=) =(2R2— «ï — t-^XR'— aR^ui-costo-f-u'i^^). On a d'ailleurs
en éliminant cosui entre les deux équations qui précèdent, îl viendra enfin
4«nR'-«^<'') = (2R'-«=-^'^)[(R^-«')tR^->'=) + 4c'R^].
10. Si l'on suppose que la conique se réduise à un cercle, les foyers F et G étant confondus, on devra faire c=: o, et en posant
u = (1 = D, a = r, on obtiendra la relation suivante :
(RS-D3)[2rHR2+D=)-(R^-D=)'] = o.
yGoosle
11. Comme je l'ai rappelô plus haiil, si l'on considère un quadrilatère quelconque circonscrit à 3a conique R et inscrit dans le cercle C, les diagonales de ce quadrilatère se coupent en un point fixe.
Pour déterminer ce point fixe, je considère en particulier le quadrilatère laSP; le point fixe cherché se trouve sur la droite Si, et, comme il est évidemment réel, il se confond avec le point D. On peut d'ailleurs facilement vérifier que ce point est sur !a diagonale ap; cela résulte immédiatement de la similitude des triangles FDG et F'DG'.
Ainsi :
Le point de rencontre fixe, des diagonales des quadrilatères circonscrits à la conigue K, et au cercle C est le point de rencontre des droites FG' et GF'.
12. Les considérations qui précèdent s'appliquent évidemment au cas où le polygone, que l'on peut circonscrire à la conique et inscrire dans le cercle, a un nombre de côtés supérieur à quatre; mais les résultats deviennent alors beaucoup plus compliqués, et je me contenterai d'examiner le cas particulier où, la conique étant une parabole P, on peut lui circonscrire un pentagone inscrit dans un cercle C.
Si nous prenons pour sommet de ce pentagone l'ombilic I, des deui tangentes qne l'on peut de ce point mener à la parabole, l'une est la droite de l'infini qui rencontre le cercle à l'ombilic J, l'autre coupe le cercle en un point a. Par l'ombilic J, on peut mener à P une tangente distincte de la droite de î'înfini ; je désignerai par p le point où elle rencontre C. Cela posé, il est clair , que, si l'on peut inscrire dans le cercle un pentagone circonscrit à la parabole, les tangentes à ce cercle, menées par les points a el ^ (et distinctes des droites isotropes al et j3J), doivent se couper en un point y de ce cercle. D'ailleurs, les points a et p étant évidemment imaginairement conjugués, il en est de même de ces deux tangentes; le point f est donc réel.
Nous devons maintenant exprimer que la droite av est tangente à la parabole.
A cet effet, je remarque que le point a est représenté par le segment FF', si l'on appelle F le foyer de la parabole et F' son
réciproque relativement au cercle. Cherciions le symétrique de F relativement à la droite ay; pour cela, je considère la droite isotrope du système J qui passe parle point a; puis, par le point F je mène la droite isotrope du même système qui rencontre av en un point e; enlin par le point £ je mène la droite isotrope du système I.
Les droites aJ et si se coupent en un point f qui est le symétrique cherché, et le segment représentatif de o est RF', si l'on désigne par R le point réel situé sur la droite si.
13. D'ailleurs, lès points a, s et -y étant en ligne droite, les deux triangles FF'y et RFy sont semblables, et par suite le point R est le point d'intersection de F'y par la droite menée par F parallèlement àOy.
Si maintenant on remarque que le point (f, représenté par le segment RF', est sur la directrice de la parabole, on en conclut d'autre part que R est le symétrique de F' relativement à cette directrice.
D'où la proposition suivante :
Soit donnée une parabole à laquelle on peut circonscrire un pentagone inscrit dans le cercle; construisons le point F*, réciproque par rapx>ort au cercle, du foyer F de la parabole, puis le point R symétrique du point F' par rapport à la directrice de cette parabole; cela posé, le point de rencontre de V'K avec la droite menée par le centre du cercle parallèlement à FR est situé sur le cercle.
\ài. Si l'on désigne par y ce point de rencontre, par O le centre du cercle et r son rayon, les deux triangles semblables FF'R et OF'y donnent la proportion
Of
