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lo. En terminant celte Note, je ferai encore remarquer avec quelle facîiité les considérations dont j'ai fait usage conduisent au beau théorème de M. Faure, relativement aux triangles conjugués par rapport à une conique.

Considérons, en eifet, un cercle circonscrit à iin triangle conjugué relatif à une conique K; on sait que l'on peut, dans ce cercle, inscrire une infinité d'autres triangles jouissant de la même propriété. Prenons l'ombilic I comme sommet d'un de ces triangles, et soient a et ^ les points de rencontre de K avec la polaire de cet ombilic; ces points sont évidemment sur le cercle lieu des sommets des angles droits circonscrits à la conique, en sorte que, en désignant par O te centre de K et par a et 6 les demi-axes de cette conique, on a la retalion

Soient Y et 0 les deux autres sommets du triangle conjugué dont le premier sommet est I; par définition, les points y et S se trouvent sur la droite ap et divisent harnioniquement le segment m^; on a donc

et, comme Oy.03 est évidemment la puissance du centre O relativement au cercle 0, le théorème est démontré.

QUELQUES PROPRIETES DES CONIQUES HOMOFOCAIES.

Bulletin de la Socle'té mathématique de France; '879.

1. Je considère, dans un plan, un système de coniques liomofocales ; soient Ox et Oy les axes de ces coniques, F et F' leurs foyers réels communs, que je supposerai situés sur Taïe Ox\ les deux foyers imaginaires communs $ et 4>' seront, par suite, situés sur l'axe Oy. Pour abréger, j'appellerai simplement conique du système une conique ayant pour foyers les points F, F', * et 4'.

Élant donné un point quelconque M du plan, deux coniques du système se croisent en ce point; désignons par N et N' les centres des deux cercles qui osculenl respectivement ces deux coniques au point M, et par jjl la droite qui joint ces deux points. Cette droite est parfaitement déterminée quand on se donne le point M et les deux foyers F et F'; je dirai que c'est l'ase du point M.

2. Réciproquement, élantdonnéc une droite [A du plan, il existe trois points M, M' et M" pour lesquels cette droile est un axe.

Si Ton considère la conique dasystème qui touche la droite^, et que l'on désigne respectivement par a. et p les points où la normale menée au point de contact rencontre les axes Ox et Oy, les trois points M, M' et M", qui ont pour axe la droite [a, sont situés sur le cercle A passant par les points a, p et le centre O commun aux coniques du système.

3. On sait que toutes les propriétés des normales et des centres

de courbure d'une conique sonl triples ; les normales à une conique demeurenl, en effet, normales à la Iransformée de celle conique quand on effectue une transformation homographique qui, aux deux ombilics du plan ('), fait correspondre deux des foyers indépendaiils de cette conique.

De la proposition précédente, on déduit donc immédiatement les théorèmes qui suivent :

jUx conique qui, passant par 'le point p et les deux foyers F et F', a pour asymptotes l'axe Oy et la droite a^ contient les trois points M, M' et M".

La comque qui, passant par le point a et les deux foyers *b et *', apour asymptotes l'axe Ox et la droite ap contient également les trois points M, M' et M".

4. Les ti'ois points qui ont pour axe la droite ii. sont, comme on le voit, les trois points communs aux deux coniques dont je viens de parler et au cercle A défini précédemment (2).

Mais on peut aussi les déterminer par l'interjection de ce cercle ei d'une conique avec une conique ayant pour axes les droites Ox et Oj.

Désignons, en effet, par C la conique du système qui touche la droite [j. et par K la conique dont les sommets coïncident avec les points de rebroussemenl de la développée de C; nous pourrons énoncer la propriété suivante :

Les points M, M' et M", çui ont pour axe la droite p, sont situés sur la conique K; le quatrième point de rencontre de cette conique et du cercle A est le point O' qui, sur le cercle, est diamétralement opposé au centre O commun aux coniques du système.

5. Le point O', diamétralement opposé au point O sur le cercle A, est le conjugué harmonique du point O relativement aux points M, M' et M".

C) Je désigne ainsi les points imagin les cercles tracés dans le plan.