SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS I

6. Le triangle MM'M" est circonscrit à la conique C du système qui touche la droite |*.

7. Considérons l'hyperbole éqiiilalère H, qui a pour centre le point O el dont l'axe iransverse, dirigé suivant Oy, a pour longueur FF'; nous pourrons énoncer la proposition suivante :

Le triangle MM'M" est aulopolaire relativement à l'hyperbole H.

8. Soit M'M" un côté quelconque du triangle MM'M"; du point O abaissons une perpendiculaire sur ce côté, et désignons par Mo le point symétrique, par rapport au point O, du pied de cette perpendiculaire.

Le point M» est situé sur l'axe [x du point M, el la droileMT^, est perpendiculaire à cet axe.

9. Étant donnée une conique C du système, on voit que, si la droite [* roule sur cette conique, les points correspondants M, M' el M" décrivent la conique K., tandis que les côtés du triangle MM'M" roulent tangenliellement à C elle-même.

D'où les propositions suivantes :

Étant donnée une conique quelconque C du système, désignons par K. la conique dont les sommets coïncident acec les points de rebroussement de la développée de C,

Cela posé, en appelant O' un point quelconque rfe K ef O le centre commun aux courbes du système, si, sur 00' comme diam,ètre, on décrit un cercle, ce cercle rencontre les axes en deux points; la droite qui joint ces deux points est normale à la conique C.

Ce cercle rencontre de nouveau K en trois autres points; chacun de ces points a pour axe une même droite tangente à G.

Les côtés du triangle formé par ces points sont circonscrits à C.

Ce triangle est autopolaire relativeijient à l'hyperbole équilatère H.

10. Les coniques C et K, qui figurent dans l'énoncé des propo-

sitions t\m précèdenl, ont entre elles des rclalions qui mérilent d'êlre éliidiées.

Enlre autres propositions, je rappellerai ia suivante, que j'ai déjà fait connaître, il y a quelques années, d&ns\es Comptes rendus de l'Académie des Sciences ( ' ) ;

Si d'un point de la conique ¥^ on mène des tangentes à ladêveloppée de la conique C, les quatre points de contact sont en ligne droite, et ladroite qui joint ces points de contact est normale à la courbe C.

il. Soit iVI un point quelconque du plan; par ce point passent deux coniques du système. En désignant par N et N' les centres des cercîes qui osculenl ces coniques au point donné, je dirai que N et N' correspondent au point M.

Réciproquement, étant donné un point N du plan, on peut chercher combien de points M lui correspondent, c'esL-à-dire combien existent de cercles ayant le point M pour centre ei osculatcurs d'une conique du sysième.

12. Pour résoudre cette question, je m'appuierai sur les considérations suivantes :

Étant donné up point N du plan, si de ce point on mène les normales à une conique du système, les tangentes aux points de conlacl touchent une parabole P tangente aux axes de la conique. Cette parabole est la même quelle que soit la conique du système que l'on considère; elle est t'enveloppe des polaires du point N relativement aux diversesconiqucs qui ont pour foyers les points F et F.

13. Poiirle démontrer, je m'appuierai sur cette importante proposition, due à M, Chasies :

Le lieu des pèles d^ une droite relativement aux coniques qui forment un système homofocal est une droite qui rencontre la

(') Sur la développée de l'ellipse {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, janvier 1875),

SUR QUELQUES pnOPÔJÉTÉS DtS CONIC

droite donnée au point où elle touche la conique du système qui lui est tangente.

Soient P l'enveloppe des polaires dont je viens de i)arler (on voil immédialemeni que c'est une, parabole tangente aux axes), C une conique du système, et T une tangente commune àCet à P. En désignent par M le point où elle touche 0, on voit que le lieu des pôles de T relativement aus. coniques du système est la droite menéeparM normalement àC; en vertu du théorème de M. Chasies que je viens de rappeler, cette droite passe par le point N; donc NM est normale à la conique C.

Réciproquement, abaissons du point N une normale à la conique C, et soit M le pied de celte normale. En désignant par T la tangente menée en ce point, on voil que le lieu des pôles de T relativement aux coniques du système est la droite MiV. Il y existe donc une conique du système pour laquelle le pôle de T se confond avec le point N ; par suite, la droite T est tangente à la parabole P.

La proposition que j'ai énoncée est donc entièrement établie (').

14, Le foyer de la parabole P peut se déterminer alséuient. On peut, en effet, la définir de la façon suivante :

Si autour du point N on fait tourner une transversale, et que par son pôle on mène une perpendiculaire à cette droite, l'enveloppe de ces perpendiculaires est la parabole P {^).

Pour avoir le foyer de la parabole, il faut chercher les droites isotropes tangentes à celte courbe. On les obtiendra si l'on considère les transversales isotropes passant par le point N. En désignant par I l'un des ombilics du plan, soit NI l'une de ces transversales; menons parles foyers F et, F' des parallèles à cette droite.

(') On démontrerait de méinc que :

Si d'un point N de l'espace on mène les normales à une sur/ace du second ordre, les pieds des normales sont les points de contact des plans qui touchent la surface et sont osculaleurs de la cubique gauche enveloppée par les plans polaires de N, relativement aua: diverses surfaces du second ordre qui ont les. mêmes focales que la surface donnée.

(') CiTables, Traite' des sections coniques, p. i45.

57 1 OÉOMÉTBIE.

Le foyer f de la parabole se Ironve sur !a droite isotrope conjuguée harmonique de NI relativement aux deas droites dont je viens de (jarler; des conséquences analogues se déduiraient de la considération de la transversale isotrope passant par le second omljilic J. On peut donc énoncer la propriété suivante :

Le foyer de la parabole P est le conjugué harmonique du point N relativement aux deux foyers F et F' communs à toutes les courbes du système.

J'ajouterai que :

La directrice de cette parabole est ta droite ON qui joint le point N au centre commun des coniques du système.

lo. Du tiiéorème précédent résultentimmédiatemeniles conséquences suivantes :

Si l'on imagine, dans le plan des deux axes Ox et Oy, deux droites quelconques!) et D', le foyer de la parabole qui touche ces quatre droites a pour conjugué harmonique, relativement aux foyers F et F', le pointde rencontre des normales menées aux deux courbes du système qui touchent D et D'.

Et, si l'on suppose que les dj-oites D et D' viennent se confondre ;

Si en un point M d'une conique on mène la tangente, et si l'on imagine la parabole qui touche celle tangente au point M et en outre est tangente aux axes de la conique, le conjugué harmonique du foyer de cette parabole, relativement aux deux foyers de la courbe^ est le centre du cercle qui oscule cette courbe au point M.

16- Cela posé, pour trouver les points M correspondant à un point donné M, construisons le point M,,, conjugue harmonique de M relativement aux deux foyers F et F", et imaginons la parabole P, qui a pour foyer le point M^ et pour directrice la droite CM.

Il est clair, par ce qui précède, que :

Les points ^ correspondant au pointa sont les pieds des normales abaissées de ce dernier point sur la parabole P.

QUELQUES PnOPniÉTÉS DES CONIQUES HOMOl'OGiLES, 5^0

Ces points sont donc au nombre de trois, et, si l'on désigne pari le milieu du segment M^M, ils s'obtiendront en cherchant l'interseclion de P avec le cercle décrit sur M,,! comme diamètre.

17. Le triangle forme par ces trois points jouit de diverses propriétés intéressantes, parmilesquelles je me bornerai à mentionner 3a suivante :

Le triangle formé par les trois points correspondant à un point donné du plan est circonscrit à une conique du système.

Je me réserve de revenir sur ce sujet et d'étendre aux surfaces homofocales du second ordre les résultats contenus dans cette Note.

yGoosle

SU1\ QUIÎLQUËS PROPKIÉTES

L'IIYPOCYCLOÏDE A TROIS POINTS DE REBROUSSEMKNT.

Bulletin de lu Société mathématique de France; 1879.

1. Soient OX et OY deux, aiies rectangulaires, et X, Y les eoordonnées d'un point quelconque M du plan relativement à ce ajatème d'axes; posons

X^Yi = s: et X-Yi = j;

nous pouvons considérer x ciy comme de nouvelles coordonnées du point M. On voit que les équations a; = a ei yT^<^, ol\ a et ^ désignent des quantités constantes arbitraires, représentent les diverses droites isotropes du plan ; je désignerai donc, pour abréger, le système de coordonnées que je viens de définir sous le nom de coordonnées isotropes.

Dans un pareil système, le coefficient angulaire d'une droite Taisant avecl'aseOX un angle donné V est égal à e~-*'; ['équation de l'axe OX est

I R et ayant pour centre le point

2. Étant donnée une courbe de n'""' classe, les coefficients angulaires des tangentes que d'un point (j7,^) on peut mener à cette courbe sont donnés par une équation homogène du degré n,

et l'équation d'un <

:ercic de rayo

(c., p)est

dans cette équation, ^ désigne le eoefficicnt angulaire de la tangente issne dn point ( x, y), et les coefficients du poljnome U sont des fonctions entières de a: et de^.

L'équation précédente est, en me servant d'une dénomination que j'ai déjà employée dans plusieurs travaux antérieurs ('), V équation mixte de la courbe.

3. L'hypocycloïde à trois points de rebroussement étant définie comme une courbe de troisième classe qui touche aux deux ombilics la droite de l'infini, on voit immédiatement que son équation mixte est de la forme

aX'-i- fiX'ji + cX(i'-+- djû-i-Xii(}.y — [ix) = o.

Cberchons le lieu des points du plan d'où l'on voit l'hypocycloïde sous un angle droit; î! faut, pour cela, exprimer que l'équation précédeute a deux racines égales et de signes contraires. Le lieu ehercbé a donc pour équation

elle représente, comme on le sait, un cercle. En mettaiil en évidence le rayon R de ce cercle et les coordonnées a et ^ de sou centre, je poserai

c = a, b=-p, a = Re-f' ei d=—'Re¥.

L'équation mixte de la courbe deviendra donc

(i) Re-fa^—jîXV + «>>[''— Râî'V' + ^['(>*J' — !^^) = o-

■4. Je vais cherclier maintenant l'équation mixte des diverses hypocycloïdes qui louchent l'axe OX et qui rencontrent cet axe en deux autres points équidistants de l'origine O.

L'axe OX étant tangent à la courbe, une des tangentes issues de l'origine a pour coefficient angulaire l'unité; l'équation (i) est donc satisfaite quand on y fait

( ' ) Mémoire de Géomélrie analytique

d'où l'cquation de conditio.

Considérons un point de l'axe OX situé à une distance de l'origine égaJe à s, en sorte que les coordonnées de ce point soient

les coefficients angulaires des tangentes issues de ce point sont donnés par i'équation (1), dans laquelle on a remplacé a; el y par 5. Si l'on divise cette équation par)^ — jx (ce qui revient à faire abstraction do la tangente OX), on trouve aisément que, en posant

u = P.e-¥—p = Re?'— a,

les coefficients angulaires des deux autres tangentes sont déterminés par l'équation

En laissant de côté ie point où la courbe est tangente à OX, on obtiendra les deus. autres points où elle rencontre cette droite en exprimant que l'équation précédente a deux racines égales, ce qui donne la relation

Si maintenant on remarque que, les deux points d'intersection dont je viens de parler étant à égale distance de l'origine 0, les deux valeurs obtenues pour z doivent être égales et de signes contraires, on en conclut

d'où

H= Re'f et fi = Re-!f.

Ainsi le centre oj du cercle K, lieu des sommets des angles droits circonscrits à l'hypoej-cloïdc, est situe sur la droite qui fait avec l'axe OX un angle égal à cp et à une distance égale à R, c'est-à-dire au rajon de ce cercle. En désignant par A et A' les deux points de rencontre de OX avec la courbe, on voit ainsi que ce cercle passe par le milieu O du segment AA' et que ce segment a une longueur constante égale à ^W., propositions bien connues.

5. En remplaçant dans l'équation (i) a et ^ par leurs valenr's

PBOI'HIÉTBS DE L'HYPOGYCLoIDE A TROIS POINTS aV. RRDROUSSEMENT. 5^9

l'équation mixte de l'hjpocycloïde prend la forme siiivante :

(a) R(\- ii)(e-im+ e'?ix^)^Xij.{l^ - ii^) = o,

et l'éqiiatioa qui donne les coefficients angulaires des Langentes issues d'un point de l'axe 0X(^ =y = s) devient

(3) Re-''îX*-i-3X|i-t-Re'?^î = o.

En particulier, les tangentes issues du point A', pour lequel on a z= — aR, sont déterminées par l'équation

d'où l'on voit que la tangente menée au point A' faitavecl'ase OX un angle égalà^-

Si donc on. prend sur le cercle K le 'point 0' diamétralement opposé au point O, cette tangente est précisément la droite A'O'; la droite O'A est également tangente à l'hypocycloïde au point A, et ces deux droites, conformément à une proposition bien connue, sont reclangulaires enire elles.

6. On voit que l'on peut, parles points A et A', mener une infinité d'iijpocycloïdes tangentes à l'axe OX; toutes ces courbes sont d'ailleurs égales entre elles, puisque la longueur du segment AA' détermine le rayon du cercle K etpar suite la grandeur de la courbe elle-même. On les obtiendra toutes en donnant à o toules les valeurs possibles dans l'équation. (a).

Soient deux de ces courbes H^ et Hç^g caractérisées par deux valeurs de l'angle^ différant entre elles de l'angle 0; si l'on désigne par (D et (1), les centres des cercles des points desquels on voitrespectivenienl ces courbes sous un angle droit, on voit que l'angle (!>Oti)i est précisément égal à S.

D'un point M situé sur l'axe OX. et à une distance du point O égale à z, menons aux deux courbes K^ et R^^i les tangentes distinctes de l'axe.

Les coefficients angulaires de ces tangentes sont respectivement déterminés par les deux équations

Re-i(9+*ï.2+jiX|i-(-Re''9+8)ji2 = o;

ceux des tangentes menées à H^^ se déduisent évidemment de ceux des tangentes menées à H^, en les mnUipHant par le facteur constante"*'; en d'antres termes, les laDgentesàH^^a s'oblienneni en faisant tourner de l'angle - les tangentes à H^. D'où la proposition suivante :

Si l'on considère une droite quelconque D tangente à une hypocycloïde à trois points de rebroitssement, et si l'on imagine un angle de grandeur constante dont le sommet décrit cette droite tandis qu 'un de ses côtés demeure tangent à la courbe, le second côté de cet angle enveloppe une autre hypocycloïde égale à la première, tangente à la droite D et passant par les deux points où cette droite coupe la première hypocycloïde.

Ce que l'on peut encore dnoncer ainsi :

Soit une hypocycloïde à trois points de rebroussement qui se déplace sans changer de/orme, en restant tangente à une droite fixe D et en passant par un point fixe de cette droite (auquel cas elle passe nécessairement par un aulre point fixe situé sur la même àroile); par différents points de D menons des tangentes à la courbe, et imaginons que, pendant le déplacement de cette courbe, ces droites lui demeurent tangentes; pour deux positions quelconques de l' hypocycloïde mobile, les angles décrits par les tangentes autour des points fixes de D sont tous égaux entre eux.

7. J'ajouterai que dans le mouvement les points de contact décrivent des cercles, ce que, du reste, des considérations géométriques très simples rendent évident. Considérons, en effet, un point M situé sur l'axe OX, à une distance de l'origine égale à z. En désignant simplement par u. le coefficient angulaire d'une des tangentes menées de ce point à la courbe (ce qui revient à faire X= i), l'équation de cette tangente est

et l'on a la relalion

(5) Re'?i/2+3[i-l-Re-'î=o.

Les coordonnées du point de contact s'obtiendront en résolvant par rapport à ^ et ;>' i'cquation (4) et l'équation suivante, que l'on en déduit en la dérivant par rapport à z :

{x — i^y " dz'

De Téqualion ( 5 ) on déduit d'ailleurs

d'où

(ti)

dz j/jî ^ 1^2

Pour obtenir le lieu des points de contact, il faut éliminer tp et |i entre les équations (4), (5) el (6), ou simplement y. entre les équations (4) et (6), qui ne renferment pas (f . On obtient ainsi l'cqnalion

que l'on peut mettre sous la forme suivante :

{y^z- i/I^^TjRi) (^ ^ a + /^'-4R=) = 4 R^ - s^.

Elle représente deux cercles tangents au point M à l'axe OX; leurs centres sont situés à l'intersection de la perpendiculaire élevée à l'axe en ce point avec le cercle décrit sur AA' comme diamètre.

8. Si l'on considère, comme précédemment, les deux hypocycloïdes IIcp et H^^, on volt que le sommet d'un angle circonscrit à ces deux courbes et ayant pour valeur -décrit un lieu dont fait partie la tangen te commune OX ; on peut rechercher si cette droite constitue à elle seule le lieu complet.

Je remarque, à cet eflFet, que les coefficients angulaires des lan~

génies menées du point (a:, j') à la courbe Ho, son! dctermint l'équation

et ceux des tangentes menées dti même poinl à la courbe H^ l'équation

Si les deux tangentes font l'angle donné -, on a

et l'équation précédente devient

"Reste à éliminer), et centre les relations (a) et {7); en éliminant entre elles l'expression e~'VX*-|- e'i" [j.^, Il vient

et, en effectuant les calculs,

La tangente OXconstitue donc bien à elle seule le lien du sommet de l'angle constant circonscrit aux deux courbes.

9. Les bypocycloïdes Hç et H^+g qui touchent toutes les deux l'axe OX ont, en outre, deux autres tangentes communes; pour avoir leur équation, il suffît d'éliminerX et y. entre l'équation (3) el l'équation

(8) h{\~ix) (e -i<9+fliX^+ «'■'?+&' [12) -H liiCky — l^■3^) = o.

Éliminant d'abord ^y — yx entre ces égalités, il vient Xîe-'f (i— e-'S) -+- ^'6(9(1 — e'S) = o,

l'hypootcloïde a trocs points d'où, par une transibrmation facile,

Les angles que font ces deux tangentes avec l'axe OX sont donc égaux àï + -età° + - + 7; ces deux droites sont à angle droit. De !à une construction qui permet de les obtenir aisément. Soient, en effet, R et K, les cercles des points desquels on voit respectivement sous un angle droit les courbes H^ et H^^o ; ces cercles, indépendamment du point O, se coupent encore en un second point M, Ce point est nécessairement le point de rencontre des tangentes cherchées, puisqu'elles sont rectangulaires entre elles. Si maintenant nous prolongeons le rayon OM jusqu'en son point dé rencontre N avec le cercle décrit sur AA.' comme diamètre, il résulte des considérations précédentes que les deux tang^entes communes qui se croisent au point M sont parallèles aux droites NA cl NA'. D'où encore la proposition suivante :

Soit une hypocycloïde à trois points de rebroussement qui passe par deux points donnés A et A! et est tangente à la corde AA'; sur cette corde comme diamètre décrivons un cercle B et considérons le cercle K, lieu des points d'où l'on voit l' hypocycloïde sous un angle droit. Ce cercle passe, comme on le sait, par le point O, milieu de la corde AA', et, en outre, est tangent au cercle C.

Étant pris un point quelconque^ sur le cercle]^, sil'onprolonge le rayon OM jusqu'en son point de rencontre N avec le cercle G, les droites menées par le point M parallèlement aux droites NA et NA' sont les deux tangentes rectangulaires entre elles que de ce point on peut mener à la/courbe.

10. Les diverses hypocycloïdes qui, passant par les deux points A et A', sont tangentes à la corde A A', étant identiques entre elles, on peut les obtenir toutes par le déplacement d'unede ces courbes dans le plan.

Pour avoir une idée nette de ce déplacement, il faut cherclicr le lieu des centres inslanlanés de rotation dans le plan et le lieu décrit par ces centres relativement à la courbe mobile.

584 aÉOMÉTRlK.

La courbe roulant sur les deux poinis A et A', les normales menées en ces points sont respectivement perpendiculaires aux droites AO' et A'O', et par conséqnent se coupent sur le cercle C décrit sur AA' comme diamètre au point diamétraiemeot opposé à O'; le lieu des centres instantanés de rotation dans le plan est donc le cercle G, dont le rayon est égal à 3R. On sait d'ailleurs que les normales aux extrémités de la corde AA' se coupent sur le cercle passant par les trois points de rebroussemenl de l'iiypocyeloïde, cercle dont le rayon est égal à 3K..

D'où la conclusion qui suit :

Etant pris sur un. cercle C de rayon égal à 2R deux points diamétralement opposés A et A', si l'on fait rouler ce cercle dans l'intérieur d'un cercle C de rayon égal à 3R, on sait que les deux points A et h! décrivent une même hypocycloîde à trois points de rebroussement inscrite dans le cercle C. A un instant quelconque du mouvement, les points A et A' sont situés sur l'hypocycloïde, tandis que la droite AA' lui est tangente ; si à cet instant on fixe le cercle C, et si l'on fait rouler sur ce cercle le cercle G en entraînant avec lui la courbe, cette courbe^ dans son déplacement, passe constamment par les points fixes A et A' et demeure tangente à la droite AA',

ir.

11, Les résultats qui précèdent peuvent se déduire aisément de quelques propositions très simples et purement géométriques.

Considérons, à cet effet, une ellipse E située dans l'espace et dont la projection orthogonale sur un plan donné P soit un cercle C. Prenons arbitrairement sur cette courbe un point fixe A et un point mobile M. Si par le milieu I de la corde AM nous menons un plan perpendiculaire à celte corde, il coupe le plan P suivant une droite dont l'enveloppe est une courbe H que l'on peut aussi évidemment définir comme le lieu des centres des sphères symétriques par rapport au plan P et tangentes à l'ellipse E.

Je dis d'abord que la courbe H est une hypocycloïde à trois points de rebroussement.

Soil D une droite située dans le plan P; si d'un point quelconque N de celte droite comme centre on décrit une sphère

PROPRIÉTÉS Dr. L'HYPOCYCLOÏDE A TROIS POINTS

passant par le point A, cette sphère coupe le plan Q de l'ellipse suivant un cercle passant par le poîut A et par le point A' qui lui est symétrique par rapport à la projection orthogonale de D sur le plan Q.

Il est clair que le point N est sur la coiirhe H si ce cercle est tangent à l'ellipse, et, comme par les points A et A' on peut mener quatre cercles tangents à E, il en résulte que la courbe K. est du quatrième ordre.

Soit N un point quelconque du plan P; de ce point comme centre décrivons une sphère passant par le point A; cette sphère coupe le plan Q suivant un cercle rencontrant l'ellipse au point A. et en trois autres points B, C et D. Les plans menés respectivement par les milieux des cordes AB, AG et AD coupent le plan P suivant des droites tangentes à H et se croisant an point donné N.

La courhe H est donc de la troisième classe.

Si le point N est rejeté à l'infini dans une direction quelconque, la sphère dont je viens de parler se réduit au plan mené par A perpendiculairement à cette direction, et, comme ce plan ne coupe E qu'en un point, il est clair qu'on ne peut mener à la courbe H qu'une tangente parallèle à une direction donnée. Cette courbe est donc doublement tangente à la droite de l'infini, et les points de contact .sont situés sur les perpendiculaires menées aux asymptotes de la projection d* l'ellipse sur le plan P. Cette projection étant un cercle, ces asymptotes, ainsi que leurs perpendiculaires, soritdes droites isotropes. La courbe H est donc de troisième classe et doublement tangente, aux ombilics, à la droite de l'infini; par suite, c'est une hjpocycloïde à trois points de rebrousse-

42. Cette hypocycloïde a, comme on le sait, trois points de rebroussement a, p, Yqu' sont les sommets d'un triangle éqnilaléral, et le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le point de concours des tangentes de rebrou s sèment.

Considérons l'un quelconque a de ces points de rebroussement; les tangentes que l'on peut de ce point mènera la courbe étant toutes les trois confondues en une seule droite, la sphère passant par A et décrite du point a comme centre coupe le plan Q suivant un cercle passant par A et oscnlatenr de l'ellipse E en un point a. ;

la projeclion sur le plan Q de la taiigenle de rebroussemeot au point a est d'ailleurs la droite menée par le milieu de la corde A* et perpendiculairement à celte corde.

Si maintenant on remarque que les trois tangentes de rebroussement sont conconranles, on obtiendra la proposition suivante, due à Steiner ;

Étant donné sur une ellipse un point quelconque A, on peut déterminer trois cercles osculateurs de cette courbe qui passent par le point A; les trois points de contact et le point A sont sur un même cercle.

D'après ce que je viens d'exposer, on peut ajouter que :

Si l'ellipse se projette orthogonalement sur unplan donné P suivant une circonférence de cercle, les droites menées perpendiculairement au plan de l'ellipse par les trois points de contact rencontrent le plan P en trois points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral, et la droite menée par le centre du cercle circonscrit aux trois points de contact, et perpendiculairement à son plan, rencontre le plan P au centre du cercle circonscrit à ce triangle équilatéral.

13. Prenons sur l'ellipse E un autre point fixe E ; à ce point correspond une seconde bypocj'cloïde H'. Cherchons les tangentes communes aux courbes II et H'.

Je désigne par F et G les deux axes de l'ellipse, par/el g les droites suivant lesquelles le plan P est coupé par les plans menés respectivement par F et G et normalement au plan Q. Les droites f ^l g sont évidemment perpendiculaires entre elles, puisque F est parallèle au plan P.

Cela posé, si des points A et B on mène dans le plan Q des perpendiculaires à F, cet axe les divise en deux parties égales; il en résulte que/ est une tangente commune à H et H', et les mêmes considérations s'appliquent à la droite g. Les deux courbes ont donc déjà en commun deux tangentes rectangulaires entre elles.

Considérons maintenant la corde AB et le plan mené par son point milieu perpendiculairement à sa direction; il coupe le plan P suivant une droite D qui est aussi tangente aux deux hjpocycloïdes.

PROPRIÉTÉS DE 1,'hYPOCYGLOIDK A TROIS POINTS DE RE BROUSSE MENT. Slf-J

14. Les points de conlact de cetie droite s'obtiendront évidemment en prenant son intersection avec les plans menés en A. et en B normalement à l'ellipse.

Pour obtenir les autres points où elle rencontre les denx courbes, je mène par les points A et B nn cercle tangent à l'ellipse ; on peut mener deux de ces cercles, et leurs points de contact m et m' sont diamétralement opposés. Si l'on construit les axes (') de ces deux cercles, il est clair qu'ils rencontrent D en deux points appartenant à la fois à H et H'. Soient n et n' ces deux points; on voit que les hjpocj'cloïdes ont une corde commune à laquelle elles sont toutes les deux tangentes : elles sont donc égales entre elles.

On peut remarquer que les droites menées aux points n et n' tangenliellement à la courbe H sont les traces de deux plans perpendiculaires aux cordes Am et A.m' ; elles sont donc perpendiculaires à leurs projections sur le plan P, et, comme la projection du diamètre mm' passe par le centre du cercle C, on voit que ces projections sont rectangulaires; il en est donc de même des deux tangentes aux points n et n', ce qui est une proposition bien connue.

15. Lorsque le point A se déplace sur l'ellipse, l'hypocjcloïde qui loi correspond demeure, comme je viens de le montrer, invariable de forme en restant tangente aux deux droites fixes/ct g. Je dis que la droite qui joint les deux points de contact est la trace sur le plan P du plan normal à l'ellipse an point A.

Menons, en effet, par te point A les cordes Aa et Aè, respectivement perpendiculaires aux axes F et G. Le point où la droite/ touche riî;ypocjcloïde H est le point de rencontre du plan P avec l'axe du cercle bitangent à l'ellipse aux points A et a. Si donc au point A on mène le plan normal à cette courbe, il contient ce point de conlact; par une raison semblable, il contient l'autre point de contact. La proposition que je voulais démontrer est donc établie.

16. Si le point A se déplace infiniment peu sur l'ellipse, l'Iiypocjcloïde H roule sur les deux droites/ et ^; la droite qui joint les deux points de contact est une corde commune aux deux courbes.

(') J'appelle, pour abréger, a ce cercle et perpendiculaire à si

et, de pins, leur est tangente; par suite, elle a une longueur con-

Donc:

Les traces, sur le pian V, des plans normaux à l'ellipse lî enveloppent une hypocycloïde à quatre points de rebroussement. Le lieu des centres des sphères doublement tangentes à l'ellipse se compose des deux tangentes doubles de rebroussemeni de cette hypocycloïde.

17. Au lieu de considérer une ellipse, j'aurais pu considérer une biquadi-a tique quelconque, avant pour plan de symétrie le plan P et située sur un cylindre dont la base est un cercle situé dans ce

pi™.

Sans rien changer aux démonstrations qui précèdent, on obtiendrait facilement les propositions qui suivent ;

Etant donnée une biquadratique résultant de l'intersection d'un cylindre droit, ayant pour base un cercle situé dans un plan P, avec une surface quelconque du second ordre ayant ce plan pour plan de symétrie, le lieu des centres des sphères qui, passant par les extrémités d'une corde de ta courbe perpendiculaire au plan P, sont doublement tangentes à celte courbe, est une hypocycloïde^ à trois points de rebroussement située dans le plan de symétrie.

Si l'on considère les diverses cordes de la courbe perpendiculaires au plan P, les diverses hypocycloïdes qui leur correspondent sont identiques et ne digèrent que par leur position dans le plan.

Les traces sur le plan de symétrie des plans normaux à la biquadratique enveloppent une hypocycloïde à quatre points de rebroussement.

Les centres des sphères quadruplemenf tangentes à la biquadratique décrivent les deux droites rectangulaires qui constituent les tangentes doubles de rebroussement de cette dernière hyp ocyclo ïde .

18. La considération des trois points de rebroussement de l'hypocjcloïde H conduit, relativement auxbiquadratlques douées d'un

PROPRiStÉS de l'hïPOCYGLOÏDE a TKOIS POIMTS DE UKBROUSSEMESt. ûSg

plan de symétrie, à un Lhéorème analogue à celui qui a été donné par Steiner relativement aux coniques et que j'ai rappelé plus

Gomme il est facile de le voir, il n'est pas besoin de supposer que la projection de la biquadratique sur le plan de sjméLrie soit un cercle, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Etant donnée une biquadratique quelconque ayant pour plan de symétrie un plan donné P, par les extrémités d'une corde quelconque de cette courbe perpendiculaire au plan P, on peut mener trois sphères qui ont avec la courbe un double contact du second ordre; les six points de contact et les extrémités de la corde sont sur une même sphère dont le centre est dans le plan de symétrie.

Si la biquadratique se projette suivant un cercle sur le plan de sjmélrie, on peut ajouter que :

Les centres des trois sphères qui ont un double contact sont les sommets d'un triangle équilatéral, et le centre de la sphère qui contient les points de contact est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

19. Je reviens maintenant au cas précédemment étudié de l'el-

lîpse E, quoique les considérations suivantes s'appliquent encore sans modification au cas plus général où l'on considère une biquadratique.

J'ai montré que, quand le point A se déplaçait sur l'ellipse, l'bypocycloïde H se déplaçait, sans changer de forme, dans le plan P.

Pour étudier la loi de ce déplacement, je remarque que, en désignant respectivement par tp et y les points où H toucbe les droites fet g, la droite ffa une longueur constante, que j'appellerai /{R. Les normales à la courbe menées aux points (p et y se rencontrent en un point dont la distance au point d'intersection de f el de g est constante et égale à ^JK. Le centre instantané de rotation décrit donc dans le plan un cercle de rayon égal à 4R- On sait d'ailleurs que, relativement à la courbe, il décrit le cercle qui lui est circonscrit el dont le rayon est égal à 3R.

Sgo etauÉTRiE.

On peut, par suite, se représenter ainsi qu'il suitle déplacement de l'hypoeyeloïde dans son plan :

Imaginons un cerc/eK.de rayon égal à ^Vl, puis deuxautres cercles K' et K." de rayons respectivement égaux à 3R et à zW. et qui touchent tous les deux K au même point M, Si l'on considère le diamètre \ du cercle R" qui passe par te point M, et si l'on fait rouler ce cercle dans le cercle K.', supposé fixe, en entraînant avec lui ce diamètre, on sait que cette droite enveloppe une hypocycloide H à trois points de rebroussement inscrite dans le cercle R'.

Si maintenant on suppose que, cette courbe restant invariablement liée au cercle K', on fasse rouler ce cercle dans le cercle R, l'hypoeyeloïde prendra successivement les diverses positions qui correspondent aux diverses positions du point A sur l'ellipse.

Si, de plus, on imagine que le cercle K" roule, en même temps que le cercle K.', dans l' intérieur du cercle K, et de façon qu'ils le touchent tous les deux toujours au même points la droite A, dans ce mouvement, enveloppera l'hypoeyeloïde à quatre points de rebroussement qui est l'enveloppe des traces des plans normaux à l'ellipse, tandis que ses extrémités décriront les axes de cette hypocycloïde.

20. Considérons les deux hypocycloïde s H et H' qui correspondent à deuK points donnés A et B de l'ellipse E,

Soit R un point quelconque de cette ellipse; les plans menés respectivement par les milieux des deus cordes AB et BR et normalement à ces cordes coupent le plan P suivant deux droites p et y respectivement tangentes aux courbes H et H'.

Si, comme précédemment, nous appelons D la droite suivant laquelle le plan P est coupé par le plan mené par le milieu de AB et perpendiculairement à cette corde, nous savons que D est à la fois uue langcnte commune et une corde commune à H et à H'. D'ailleurs, les perpendiculaires élevées aux points milieux des côtés d'un triangle se coupant en un même point, il en résulte que les tangentes ^ et y se rencontrent en un point de D. Elles sont, du reste, perpendiculaires aux projections sur le plan P des cordes AR et BR, et, comme ces cordes fout un angle constant (leur point

de rencontre décrit, en efTel, le cercle C, tandis qu'elles tournent autour de points fixes de ce cercle), il en est de même de ces tangentes.

D'où le théorème suivant, que j'ai déjà démontré plus haut :

Sil'on considère une droite quelconque tangente à une hypocycloïde à trois points de rebroussement, et si Von imagine un angle de grandeur constante dont le sommet décrit cette droite, tandis qu'un de ses côtés demeure tangent à la courbe, le second côté de cet angle enveloppe une hypocycloïde égale à la première.

21. Les considérations géométriques très simples dont je me suis servi trouvent d'ailleurs, dans d'autres questions, des applications intéressantes. Je me boincrai ici à énoncer la proposition suivante :

Supposons que le sommet d'un angle de grandeur constante décrive une droite D, tandis que ses côtés enveloppent deux courbes K. et R'; pour une position donnée de l'angle, soient respectivement a et a' les points de contact des deux côtés.

Cela posé, si l'on construit l' hypocycloïde à trois points de rebroussement qui oscule la courbe K au point a et touche la droite D, puis V hypocycloïde qui oscule la courbe)^' au point a' et touche également la droite D, ces deux hypocycloïdes sont égales et rencontrent D aux deux mêmes points.