RÉSEAUX DE DIRECTIONS, — FAISCEAUX EN INVOLWTION. RÉSEADX EN

6. Étant données quatre directions arbitraires A, B, C, D et étant tracé un cycle arbitraire dans le plan, menons à ce cycle des tangentes parallèles à ces directions, et soient respectivement a,

b, c, d leurs points de contact. J'appellerai rapport anharmonique de ces quatre directions, et je désignerai par la notation R(A, B, C, D), le rapport anliarmonique des quatre points a, b,

c, d, lesquels sont situés sur un même cercle.

7, J'appelle faisceau de directions un système de directions passant par un point fixe O.

Un faisceau de directions conjuguées deus à deux est en imjolution, si le rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre elles est égal au rapport anharmonique des directions conjuguées.

Dans un faisceau eu involulion, il y a deux direcllons qui coïncident avec leurs conjuguées : ce sont les directions doubles du faisceau. En les désignant par P cl P', el par A et A.' deux directions conjuguées quelconques, on yoil que les directions P, P' et A, A' sont harmoniques.

Les centres des cycles tangents aux directions P et P' décrivent une droite qui est la bissectrice de ces deux directions et que j'appellerai l'aice du faisceau; l'involution est déterminée quand on se donne les deux directions doubles P et P', ou encore quand on se donne le sommet O du faisceau et un cycle tangent aux directions doubles. On peut ainsi facilement déterminer une involution, même quand les directions doubles sont imaginaires.

Soit R la droite menée par le point O perpendiculairement à l'axe du faisceau; il est aisé de voir que les deux directions -1- R et — E. sont conjuguées : je dirai que c'est la droite double du faisceau.

8. Considérons un faisceau en involulion ayant pour sommet 'le point O, P et P' pour directions doubles, et R. pour droite

double. Menons par O une droite quelconque A, et soient D et D' les conjuguées des directions opposées + A et — A ; je dirai que D et D' sont deux directions associées du faisceau.

Les directions associées du faisceau forment une involulion ayant même axe et même droite double que l'involution donnée ; ses directions doubles sont les conjuguées harmoniques des directions isotropes relativement à P et P'.

9. Etant donnée une suite de cycles tangents à deux directions fixes quelconques Q et Q', si, par un point O pris arbitrairement dans le plan, on mène des tangentes à ces cycles, ces tangentes forment un faisceau en involulion.

Les directions doubles de ce faisceau sont évidemment les tangentes menées par le point O aux deux cycles qui, passant par ce point, touchent les deux directions fixes, La droite double est la droite qui joint le point O au point de rencontre des directions Q etQ'.

10. J'appellerai 7'éje«M de directions un système de directions tangentes à un même cycle.

Un réseau est en involution si les points de contact des directions avec le ejele forment une involution; dans tout réseau en involution, il y a deux directions doubles. Deux directions conjuguées quelconques et les deux directions doubles sont conjuguées harmoniques.

Quatre directions forment un système harmonique lorsque, étant tangentes à un même cycle, leurs points de contact forment un système harmonique. Par suite, pour obtenir la conjuguée harmonique d'une direction B relativement à deux directions données A et A', il suffit d'inscrire im cycle dans le triangle déterminé par les directions A, A' et B. Joignons le point de rencontre de A et A' avec le point de contact de B : la droite ainsi obtenue rencontre le cycle en un second point, et la direction menée tangenliellement en ce point est la conjuguée cherchée.

H . Etant donnés une suite de cycles tangents à deux directions fixes quelconques et un cycle fixe K, si l'on mène les tangentes communes au cycle fixe et aux cycles variables, ces tangentes communes forment un réseau en involution.

Les directions doubles de cette invohition se détermineront en construisant les deux cycles tangents à K et aux directions fixes.

ni. — Longitude de quatre bjukctions. — Svstbjies paojECTirs.

12. Étant données quatre directions A, B, C et D, désignons respectivement par a, p, y et S les intersections de A avec B, de B avec C, de C avec D et de D avec A. Cela posé, la longueur

est complètement définie en valeur absolue et en signe ; le segment a(3, étant compté en effet sur la direction B, dont le sens est déterminé, a une valeur bien déterminée, et il en est de même des autres segments.

J'appellerai longitude des quatre directions A, B, G, D la longueur dont je viens de parler, et je la désignerai par la notation

L(A, lî,C,D).

13- Lorsque quatre directions sont tangentes à un même cycle, leur longitude est nulle.

Réciproquement :

Si la longitude de quatre directions est nulle, elles sont tangentes à un même cycle.

14. Deux groupes de quatre directions sont dits projecli/s si leurs rapports anharmoniques sont égaux, ainsi que leur longitude.

Deux systèmes de directions sont dits projecti/s si, étantprises quatre directions quelconques du premier système et les directions correspondantes du second système, les deux groupes ainsi obtenus sont projectifs.

Tous les théorèmes qidonl lieu relati<^ement à deux systèmes de points homographiques situés sur une même ligne droite s'appliquent également à deux systèmes projectifs de directions.

15. De ce que j'ai dit plus haut (n" 13) il résulte immédiatement que, si quatre directions d'un des systèmes sont tangentes à un même cycle, les directions correspondantes dans l'autre système sont également tangentes à un même cycle.

A un cycle (ou un point) du premier système correspond donc un cycle (ou un point) dans le second système.

16. Étant donnés deux cycles C et K, on peut leur mener deux tangentes communes : j'appellerai distance tangentielle des deux cycles la longueur comprise entre les deux points de contact sur l'une des tangentes communes; cette distance n'est déterminée qu'en valeur absolue.

Considérons deux figures projectîves; soient C et K deux cycles appartenant à la première figure, A une de leurs tangentes communes touchant respectivement ces cycles aux points a et S. Désignons par B une tangente à C infiniment voisine de A et passant par le point a, par D une tangente à K infiniment voisine de A et passant par le point 3, enfin par G une direction arbitraire, par ^ le point d'intersection de B et de C, et par y le point d'intersection de D et de C.

La longilude des qualre direclîons A, B, G et D a pour espres-

■on peut remarquer que (By est infiniment petit et qu'en négligeant les infiniment petits on a

on a donc, en négligeant les infiniment petits,

L(A, B, C, D) = as -t- =S — Sa = 5a5.

Si maintenant on remarque que, dans deux figures projeclives, la longitude de qualre directions quelconques est égaie à la longilude des quatre directions correspondantes, on pourra énoncer le théorème fondamental suivant :

Étant donnés, dans deux figures projectives, deux cycles C ei K appartenant à la première figure, soient T une tangente commune à ces deux cycles, c et k les points où cette tangente touche respectivement les cycles. Désignons par C et K' les cycles correspondants dans la seconde figure, par T la tangente commune qui correspond à ï, et par d et k' les points oà elle touche G et K'.

Cela posé, la longueur ck est égale en grandeur et en signe à c'k'. C'est ce que j'exprimerai d'une façon plus concise (mais moins nette) en disant que la distance tangentielle de deux •cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants.

17. Étant donnés trois couples de directions conjuguées (A, A'), (B, B') et (C, C), je dirai qu'ils forment une invoUition si quatre quelconques de ces directions elles qualre directions conjuguées sont projeclives. On peut toujours déterminer deux directions P et P' telles que ces directions forment avec les trois couples donnés «n système harmonique.

Ces directions sont les directions doubles de l'involulion, et il

est facile de les déterminer quand on se donne deux couples tels que(Â, A')et(B, B')(').

18. Un système de droites conjuguées est dit en involution si, étant prises quatre quelconques de ces directions, ces directions et les directions conjuguées forment un système projectif.

Il y existe alors deux directions P et P', telles que P, P', et deus d^irections conjuguées quelconques forment un système harmonique.

Une involution peut se définir au moyen des deux directions doubles P et P', ou encore (ce qui sera préférable si ces directions sont imaginairement conjuguées) au moyen du point de rencontre de ces directions et d'un quelconque des cycles qui leur sont tangents.

En appelant O le point de rencontre des deux directions doubles P et P', la droite passant par ce point, et qui est le lieu des centres des cycles tangents à P et à P', sera dite Vaxe de l'involution, la droite passant par ce même point perpendiculairement à l'axe la droite double de V involution.

19. Tous les théorèmes relatifs à un système de points en involution sur une même droite ont lieu relativement à un système de directions en involution,