V. — Transformation par directions réciproques
20. Soient O un point fixe et K un cycle pris arbitrairement dans le plan, P et P' les tangentes (réelles ou imaginaires) que du point O on peut mener au cycle K; à chaque direction D du plan on peut faire correspondre une direction D' telle que les directions D, D' et P, P" fassent un système harmonique.
Je désignerai cette transformation sous le nom de transformation par directions réciproques; il est clair, en effet, qu'à la direction D' correspond la direction D.
(1) Je laisse de eûlc la solution de ce problème i elle ne présente aucune difficulté, mais exigerait, po breuses figures. Le lecteur y suppléera facilement.
Les deux di-oitcs P et P seront les deux directions doubles de la transformation, la droite qui joint le point O au centre de K l'axe de la transformation, et la droite R, menée par O perpendiculairement à l'axe, la droite double de la transformation.
Si une direction mobile A enveloppe une courbe M, la direction conjuguée (ou réciproque) A' enveloppera une courbe M' qui sera dite la transformée ou la réciproque de M.
21 . Il est clair, d'après ce que j'ai dit plus haut sur l'involulion,
qu'un système de directions et le système transformé sont projeclifs; on voit donc immédiatement que (ott^ cycle a pour réciproque un cycle (ou un point).
Si deux cycles C ei K ont pour réciproques les cycles C et K', la distance tangentieUe des deux cycles C et K.esî égale à la distance tangentieUe des cycles C et IL' (').
22. Deux directions réciproques rencontrent la droite double R en deux points équidistants du centre O de la transformation.
23. Étant donnée une droite quelconque A, à cetle droite correspondent les deux directions opposées -f- A et — A, auxquelles correspondent, après la transformation, deux directions D et D' : je dirai que ces deux directions sont associées. Ainsi :
Deux directions sont associées si leurs réciproques sont opposées.
Un cycle se transforme généralement en un autre cycle ; il peut, dans certains cas, se transformer en un point, et je dirai alors que c'est un cycle singulier.
2i. Les tangentes communes à deux cycles singuliers ont pour réciproques deux directions opposées et, par suite, sont deux droites associées.
(') Cette proposition, des plus importantes dans la tliéorie de la transforinalion par dÏTectioDs réciproques, est analogue à la propriété suivante : L'angle sous lequel se coupent deux cercles se conserve après une irais formation par rayons vecteurs réciproques.
Réciproquement :
Tout cycle tangent à deux directions associées est un cycle singulier; un cycle est singulier, si les tangentes qu'il a en commun avec un autre cycle singulier quelconque sont des directions associées.
En particulier, le point O, centre de ia transformation, est un cycle singulier; pour qu'un cycle soit singulier, il faut donc et il suffit que les tangentes qu'on peut lui mener par le point O soient des directions associées,
25. Soient Q et Q' les conjuguées harmoniques des directions isotropes, relativement aux droites P et P'; il résulte de ce qui précède que ;
Pour qu'un cycle soit singulier, il faut et il suffit que les tangentes qu^ on peut lui mener du point O constituent avec les directions Q et Q' un système harmonique.
26. Étant donné un cycle singulier quelconque, pour qu'un autre cyele soit singulier, il faut et il suffit que leur centre de similitude soit sur la droite R.
Deux droites associées quelconques se coupent sur la droite h.
Chaque point de la droite R doit être regardé comme tin <^cle singulier, le point correspondant étant le symétrique du point donné relativement au point O,
27. Soient C et C deux cycles réciproques quelconques; désignons par C" le symétrique de G relativement à l'axe de la transformation : les deux cycles G et C ont pour axe radical la droite double R.
28. Etant donné un cercle quelconque K, à ce cercîe correspondent deux cycles opposés +K et — K; en désignant par 0 et C leurs transformés, je dirai que C et G' sont deux cycles associés.
29. La transformation par directions réciproques me paraît, dans l'étude de la Géométrie pîane, devoir être employée avec avantage à eôlé de la transformation par rayons vecteurs réci-
proqiies (il est évident que cette dernière transforme un cycle en un autre cycle ou une direction).
On peut toujours efTecttier la transformation de telle sorte qu'à deux directions données D ut D' correspondent deux directions opposées +Aet — A; on voit qu'alors aux cycles tangents à D et à D' correspondent des points de la droite A.
Comme application, proposons-nous le problème suivant :
Mener un cycle tangent à trois cycles donnés.
Construisons les tangentes communes à deux des cycles, et effectuons une transformation telle que ces deux tangentes se transforment en deux directions opposées : les deux cycles dont je viens de parler se transformeront alors en deux points, et le problème sera ramené immédiatement au suivant, qui a deus solutions :
Mener par deux points un cycle tangent à un cycle donné.
Plus généralement, on peut toujours effectuer une transformation, de telle sorte que trois cycles donnés se transforment en trois points (').
LA TRAKSFOBUATION RÉCIPROQUES.
