Deux cas particuliers sont particulièrement à remarquer

En premier lieu, les deux directions doubles P et P* peuvent être opposées; il est facile de voir alors que la réciproque d'une direction donnée est sa symétrique par rapport à la droite commune qui contient les deux directions.

Deux figures réciproques sont alors symétriques par rapport à l'axe de la transformation.

En second lieu, les deus directions doubles peuvent être des directions isotropes. En désignant, comme plus haut, par O le point de rencontre de ces directions, on voit aisément que la réci-

(') Depuis que cette Note a été eonimuniquée à la Société, j'ai reconnu qu'il était utile de modifier Icgéreroent la déGnition précédente de la transformation par directions réciproques; je développerai ce point dans une prochaine Commuai cation.

proqiic d'une direction donnée est sa symétrique par rapport au point 0.

Deux figures réciproques sont alot's symétriques par rapport aa point 0.

Vil. — Courbes en ravOLUTio:^. — HYPBRCïci.ts.

31. Considérons une transformation par directions réciproques définie par ses deux directions doubles P et P', et une courbe M (j'entends ici par courbe une suite de points se suivant dans un sens déterminé, en sorte qu'en chaque point de cette courbe ta tangente ait une direction déterminée).

La courbe M sera dite en involution si, D désignant une direction quelconque tangente à cette courbe et D' la réciproque de D, la direction D' est elle-même tangente à M.

Les tangentes à M sont ainsi conjuguées deux à deuï, de telle sorte que chaque couple de tangentes conjuguées et les deux directions fondamentales P et P' constituent un système harmonique.

32. Étant donnée une courbe en Involution, considérons une direction A prise arbitrairement dans le pian et ses conjuguées harmoniques relativement aux couples de tangentes conjuguées de la courbe : ces conjuguées enveloppent une courbe A',

En considérant une autre direction B, on aurait une autre courbe B', enveloppe des conjuguées harmoniques de B relativement aux couples de tangentes conjuguées delà courbe. Cela posé, si A' est un cycle, je dis que B' est également un cycle.

On peut, en effet, énoncer cette proposition :

Étant donné un système de directions en involution, les conjuguées harmoniques de deux directions ^quelconques relativement aux couples de directions conjuguées de Vinvolution forment deux systèmes projectifs ( ' ) .

(') Comme je l'ai dit plus haut, tous les théorèmes relatifs aux ayatèraes de points situés en ligne droite ont leurs analogues relatiTemenl auK systèmes de directions dans un même plan ; la proposition sur laquelle je m'appuie ici découle immédiatement de la proposition bien connue qui suit ;

Si quatre couples de points sont en involution, les conjugués harmoniques

Il résulte de là que B' et A' sont deux courbes projeclives, ce qui démonire la proposition.

33. J'appellerai hypercycls une courbe en involution M jouissant de la propriiSlé énoncée. Une telle courbe sera donc définie par les deux directions fondamentales P et P', par une direction A et par le cjcie K, qui est l'enveloppe des conjuguées harmoniques de A relativement aux tangentes conjuguées de M; je dirai que le c^cle K est le cycle polaire de la direction A.

On voit qu'à chaque direction du plan correspond un cycle polaire, et l'on démontrera facilemenl les propositions suivantes :

Si K est te cycle polaire d'une direction donnée A relativement à un hypercycle M, le cycle polaire de toute tangente à K est langent à la direction A.

Les tangentes communes aux cycles polaires de deux directions opposées + D eî ,— D ont pour cycles polaires deux points de la droite D.

On conclut de là qu'il y existe une infinité de directions dont les cycles polaires se réduisent à des points.

34. Il est clair qu'un hypercycle M se transforme en un hypercycle M' par une transformation par directions réciproques; si P et P' sont les deux directions fondamentales de M, les réciproques de P et de P' sont les directions fondamentales de M'.

De lu résulte que, si P et P' sont réelles, on peut toujours effectuer une transformation réelle de telle sorte que les réciproques de P et P' soient opposées, et par suite que la transformée ait un axe de symétrie.

Si, au contraire, P et P' sont imaginairement conjuguées, on peut effectuer une transformation réelle de telle sorte que les réciproques de P et de P' soient deux directions isotropes, et alors la transformée a un centre de symétrie.

d'un point de la droite, pris à volonté, relatifs aux quatre couples de points, ont toujours le même rapport anharmonique, quel que soit ce point ( Chasles, Traité des sections coniques, p, of|).

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