SUR LA TRANSFORMATION F
Cela posé, la transformation par directions réciproques est entièrement définie par les conditions suivantes :
Deux semi-plans réciproqnes se coupent sur un plan fixe que j'appellerai plan fondamental; deux coiiples de semi-plans réciproques forment nn système de quatre semi-plans tangents à un semi-cône de révolution,
La transformation est évidemment déterminée quand on se donne le plan fondamental et deux semi-plans réciproques.
2. Voici les propriétés fondamentales de celte transformation : A un système de semi-plans parallèles correspond un système
de semi-plans parallèles ; à une semi-sphère correspond une semisplière qui peut se réduire à un point ; à un semi-cône de révolution, une semi-surface de même nature qui peut se réduire à xin cylindre de révolution ou à une droite.
On peut toujours effectuer une transformation telle que quatre semi-sphères données se transforment en quatre points.
Si trois semi-surfaces touchent un semi-plan aux points a, b, c et si les semi-surfaces réciproques touchent le semi-plan réciproque aux points a, p, y, les triangles abc et a^y sont égaux.
Les lignes de conrbure des semi-surfaces sont conservées dans la transformation.
Deux cas sont parliculièremenl à remarquer. En premier lieu, si le plan fondamental est à l'infini, la transformée est une semisurface parallèle à la semi-surface donnée; en second lieu, si nn cône isotrope a pour réciproque un cylindre droit dont l'axe est perpendiculaire au plan fondamental, on a la transformation remarquable due à M, Bonnet (').
3. Si l'on prend une surface algébrique quelconque et si l'on fixe arbitrairement la région que l'on regarde comme extérieure, la semi-surCace ainsi obtenue ne forme généralement un être géométrique que s! on lui adjoint la semi-suri'ace opposée; elle doit être considérée comme une semi-surface composée de deux feuillets superposés et opposés entre eux, ces feuillets formant les deux
( ' ) Note sur un genre particulier cle surfaces réciproques { Comptes r. l. XLU, p. 485).
nappes de l'enVèloppe d'une sphère de rayoa infinimenl pelit dont le cenu-e décrit la surface. Une quadrique, par exemple, doit être regardée comme une semi-quadriquc de quatrième classe. Cependant quelques semi-surfaces, composées d'une seule nappe, forment un être géométrique distinct : telles sont celles qui proviennent du plan, delasphi^re, et en général de toutes les anticaustiques des surfaces algébriques.
i. La transformée d'une semi-surface S est une anticaus tique; abaissons, en effet, de chaque point M de S une perpendiculaire MP sur le plan fondamental, et prenons sur MP un point M' tel que le rapport de M'P à MP soit constant : le point M' décrit une surface S'. Cela posé, si, l'indice de réfraction étant convenablement choisi, des rajons perpendiculaires au plan fondamental se réfractent sur S', la réciproque de S est une des catacaustiques de S'; on obtiendra du reste toutes ses catacaustiques en déplaçant le plan fondamental parallèlement à lui-même.
Il résulte de là que l'on sait déterminer les lignes de courbure des anticaustiques de S' si l'on sait les déterminer pour la semisurface S. En particulier, si S' est une semi-quadrique, il en est de même de S, et l'on voit que l'on peut obtenir les lignes de courbure des anticaus tiques des surfaces du second ordre, les rayons incidents étant parallèles, proposition que j'avais déjà démontrée dans mon Mémoire Su/- une surface de quatrième classe, etc. (Journal de Mathématiques, 3' série, t. II, p. i45)-
M. Darboux qui, dans une Note présentée à l'Académie dans sa dernière séance, a bien voulu rappeler ce résultat, a démontré de plus que ces anticaustiques sont les surfaces les plus générales de la quatrième classe, qui ont pour ligne double l'ombilicale.
Des propositions qui précèdent il résulte qu'elles peuvent être considérées comme les transformées des semi-quadriques; or, si l'on considère une semi-surface quelconque S de quatrième classe ayant pour ligne double l'ombilicale, et pour autre ligne double la conique k, on voit que chaque point M de k est le sommet de deux semi-cônes de révolution circonscrits à S; tous ces semi-cônes pe\ivent, par une transformation convenable, être transformés en droites se partageant en deux systèmes tels qu'une droite quelconque de l'un des systèmes rencontre toutes les droites de l'autre
