TRANSFORMATIONS PAR SEMI-DROITES RÉCIPROQUES

Nouvelles Annales de Malhématigues ;

i. Une droite (^Lant donnée, on peiil supposer qu'elle soit décrite dans un certain sens par un point mobile; une telle droite, déterminée ainsi par sa position et le sens dans lequel elle est décrite, est désignée sous le nom de semi-droite; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la droite (/tg. i),

Une même droite pouvant être décrite dans deiix sens différents déterminé deux semi-droites distinctes, que l'on appelle semidroites opposées.

2. Un cercle étant donne, on peut supposer également qu'il soit décrit dans un certain sens par un point mobile; un tel cercle, déterminé ainsi par sa position et le sens dans lequel il est décrit, est désigné sous le nom de cycle; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la circonférence du cycle.

Un même cercle, pouvant être décrit dans deux sens différents, détermine deux cycles distincts que l'on appelle cycles opposés.

3. En un point A d'un cycle, la tangente doit être considérée,

le long de l'élément infiniment petit commun au cycle, décrite dans le même sens que le cycle; la tangente au poic donc une semi-droite bien déterminée.

BEUI-DROITES RÉCIPROQUES. 609

De là résultent les conséquences suivantes :

i" On ne peut mener à un cycle donné qu'une tangente parallèle à une semi-droite donnée.

Il esl clair, en effet, qu'on peut mener au cercle déterminé par le cycle deux tangenies parallèles à la droite déterminée par la semi-drolté donnée: mais, si l'on désigne par A el par A' les points de contact de ces tangentes, on voit que les tangentes en ces points ont des directions opposées; une seule d'entre elles est donc parallèle à la semi-droile donnée.

a" Deux cycles donnés ont deux tangentes communes et n'en ont que deux.

Sur lAJig. 2, on voit que les semi-droites AA' et BB' sont tangentes à la fois aux deux cj'cles K et K.'. Les cercles déterminés par ces cycles ont quatre tangentes communes, dont deux sont précisément AA' et BB'; si l'on considère une quelconque des

deux autres, par exemple CC, il est aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la définition donnée du contact d'un cycle et d'une semi-droite.

Deux cycles ont donc seulement deux tangenies communes ; leur point de rencontre P esl le centre de similitude des deux cycles.

Ce centre de similitude est unique (').

{') .Une proposition bien connue peut, par snite de cette dcfluitioD, s'énoncer <lc la façon suivante :

Étant donnés trois cycles, les trois centres de simililude de ces cycles pris deux à deux sont en. ligne droite.

La distance AÂ', comprise sur l'une des tangentes communes entre les points de contact a\ec les cycles, est la distance tangentielle des cycles; elle n'est déterminée qu'en valeur absolue, mais

-i. Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si ce cycle est décrit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire.

Par suite, en désignant par T la distance tangentîelle des deux cycles dont les centres sont O et 0', i^fig- a montre immédiatement que, en désignant par D la dislance des centres, on a la relation