MÉTHODE DE TRAXSFORMATIO.N PAU SEMI-DB01TE8 RÉCIPROQUES
9. Considérons une droite fixe Q; traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour centre le point O et, snr la perpendiculaire abaissée du point O snr la droite lî, prenons un point arbitraire P {fig- 3).
Cela posé, à chaque semi-droite MN du plan on peut faire cor-
respondre une autre semi-droite de la façon .suivante : menons au. cycle K la tangente AB parallèle à MN, joignons le point de contact A an point P, et, au point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente A'B'; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe û, une semidroite MN' parallèle à A'B'.
MN' correspond ainsi à MN, et il est clair, en examinant les constructions efi'ectuées, que MN correspond réciproquement à MN'; on dit que ces deux semi-droites sont réciproques.
Il résulte évidemment de ce qui précède que :
i" Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite ii que l'on appelle l'axe de transformation :
2° Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.
10. Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs rc!ciproques à elles-mêmes. Il y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes; ces semi-droites font d)3S angles égaux avec l'axe de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point P est extérieur au cycle R,
11. Théouème. — Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle.
Soient, en effet, 0 l'ase de transformation, MN et MN' deux semi-droites réciproques, SK une semi-droite quelconque du plan {fig- 4).
Construisons le cycle qui touche les semi-droites MN, MN' et SR; menons la droite NN' qui joint les points de contact de MN
rig. 4-
et de MN', et désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée du point O sur l'axe Q. Il est clair, d'après ce qui précède, que la transformation qui a pour a\e Q et dans laquelle MN correspond à MN' peut être définie au moyen du cycle K et du poinl P. Si maintenant on remarque que P est le pôle de la droite Q relativement au cycle K, on voit que la tangente RS' est la réciproque de SR; les deux couples de semidroites réciproques MN el MiN', RS et RS' sont dcus tangentes au cycle K, ce qui démontre la proposition énoncée.
12. La transformation par semi-droites réciproques est aussi caractérisée par les deux propriétés suivantes :
Deux semi-droites réciproques se coupent sûr l'axe detrans-
formation; deux couples de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle ('),
Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se donne l'axe de transformation et dens semi-droites réciproques D et D'. Pour obtenir la réciproque d'une semi-droite quelconque i, que l'on construise le cycle tangent à D, D' et A, et que, par !e point M où A coupe l'axe de transformation, on mène la deuxième tangente au cycle, celte tangente sera la semidroite cherchée.
13. Considérons une courbe K. comme l'enveloppe d'une semidroite mobile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu'on appelle la transformée de la courbe K.
Théorème. — Quand on effectue une transformation par semi-droites réciproques, un cycle a pour transformé un autre cycle.
Soit Û l'axe de transformation, et considérons un cycle quel-
Fig. 5.
conque K. coupant l'axe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et M'N' parallèles à la direction des semi-droites
(') La transformation par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deus propriétés suivantes :
Deuw points réciproques iont situes sur une droite passant par le pôle de
Deux couples de points réciproques sont situés sur un même cercle.
qui, dans la transformation, sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de rencontre de ces droites {fig- 5).
Cela posé, construisons le second cjcle K' qui, passant par les points A et B, touche les semi-droites PM et PM'; je dis que le cycle K' est le transformé de K.
On voit en elîet que la transformation est définie par l'axe D, le cycle K et le point P (9).
Par le point P, menons une sécante quelconque coupant le cycle K' au point a et le cycle K aux points p et y. On sait que les tangentes menées eu ce et y se coupent en un point T de l'axe radical û des deux cycles; d'ailleurs, ^S est parallèle à aT : il résulte donc de la définition donnée plus haut (9) que aT et yT sont deux semi-droites réciproques. L'enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent K est donc le cycle K' : ce qu'il fallait démontrer.
14. On voit ainsi qu'un cycle K. a pour réciproque un cycle K'. La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les deux propriétés suivantes :
i" Leur axe radical est l'axe de transformation;
2° Leurs tangentes communes sont parallèles à deux directions fixes, à savoir aux directions des seini- droites qui se transforment en elles-mêmes.
Désignons respectivement par R et B' les rayons des deux cycles (ces quantités étant données en grandeur et en signe) et par D et D' les distances de leurs centres à l'axe (').
La première propriété donne la relation suivante
D2— D'== R'— lï'^ et la deuxième, la relation ([) D — D'=a(lî -IV),
OÙ K désigne une constante caractérisant la transformation; d'où
(') On doit ici considérer l'ajc de Lj-Bnsformatiun c lui donnant un sens arbitraire, de sorte que D et D' grandeur et en signe.
TRANSF
RMATIONS PAS SEMt-DliOlTES KlioiFKOQUES
encore, en combin
ml ces deux relations,
D-f-D'= i(RH-rV).
On en déduit
et
„, ■23D-K(TH~aî)
Le cycle K' est ainsi complètement déterminé, quand le cycle K est donné, puisque l'on connaît la distance de son centre à l'axe et son rayon.
Remarques, — Le cycle K' se réduit à un point, si R'= o, ce qui exige que l'on ait
Raî — 9,aD-l-R = o,
d'où
a = Div/D'— Rs.
Il en résulte qu'un cycle étant donné, ainsi que l'axe de transformation, on peut toujours déterminer le module a de la transformation, de façon que ce cycle ait pour transformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe pas l'axe. En désignant, en effet, par R son rayon et par D la dîslance de son centre à l'axe, on voit que, D^— R^ étant positif, l'équation précédente détermine pour le module a deux valeurs réelles.
Soit K {Jig- 6) le cycle donné; de son centre O abaissons une
ig. G.
fr\
pei-pendiculaire OP sur l'axe de transformation, et de son pied P comme centre décrivons le cercle qui coupe orlbogonalemenl le cycle donné. Ce cercle coupe la droite OP en deux points A et B ;
on prouvera aisément qu'il existe une transformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques les semi-droites qui se croisent au point A. II esiste également une autre transformation dans laquelle le point B est le réciproque du cycle K.
Une transformation étant définie par l'axe de transformation ii et par le module a, il y existe une infinité de cycles qui ont pour transformés des points; ils sont définis par la relation
n aa D ~ ai -H 1 '
Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnellement à la distance de leur centre à l'axe; elle présente une grande importance dans l'application de la transformation par se mi- droites réciproques à la théorie des anticaiistiquespar réfraction,
lo. Théorème. — La distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants.
Considérons, en elFet, deux cycles; désignons respectivement par R et r leurs rayons, par Vi cA d ]es distances de leur centre à l'axe de transformation, par p la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, et par T leur distance tangentielle ; on aura
évidemment
Tî = /;' -1- ( D - </)! — ( R - ry.
Soient de même R' et /■' les rayons des cycles transformés, D' et d' les distances de leurs centres à l'axe, et T' leur distance tangentielle. Si l'on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une même perpendiculaire à l'axe, il est clair que
T'- = p-^^{ïi'~d'y--{K-,-')K
Or les formules données plus haut donnent aisément
Substituant ces valeurs dans l'expression précédente, i toutes rédactions faites,
T'i = />2 -l- ( D - È^) ! — ( ti — r)s = T2 ; ce qui dcrrionlre la proposition énoncée (').
16- Soient trois cj'cles K., R' el K" ayant respectivement pour centre les points O, 0' et O". Soient F' le centre de similitude des cycles O el O', P' le centre de sitnilitnde des cycles 0 et O". Supposons que ta droite FP" ne coupe pas le centre O; en prenant celte droite pour axe de transformation, nous pourrons toujours, en choisissant convenablement le module de la transformation, transformer le cycle O en un point w. Les deux tangentes P''Â el P"B auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points P" et w; le cycle K', étant tangent à P''A. et P^E, aura pour transformé un cycle tangent à ces demi-droiles opposées, et, par conséquent, un point w' qui sera l'intersection de P"w avec la perpendiculaire abaissée de O' sur l'axe P'P",
Les deux tangentes P'C et P'D {fig- 7) auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par la droite P'w, el it est clair que le cycle O", qui touche P'C et P'D, aura pour transformé ie point w", où P'u rencontre la perpendiculaire abaissée de 0" sur l'axe P'F'. Si l'on considère maintenant fcs deux tangentes communes aux cycles K'K", elles auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les points m' et w". D'où il résulte que ces tangentes se coupentau point P oùla droite ti)'<ij" rencontre P'P", et de là une démonstration nouvelle de cette proposition rappelée plus haut : Les trois centres de similitude de
(•) Relativement â la tvansformstion pjc rayons vecLeurs réciproques, le ihéorÉme analogue est le suivant : L'angle sous lequel se coupent deuic cercles est égal à l'angle sous lequel se coupent les cercles correspondants.
Ce tîiéorème s'étend à deux courbes quelconques, et de même dans la transformation par semi-droites réciproques :
Si une semi-droite A touche deme courbes aux deux points a et b, el si la semi-droite réciproque A' touche les courbes transformées aux points a' et b', les deux longueurs ab et a'V sontégales.
trois cycles considérés deux à deux soJit en ligne droite; il suit de là également que 5/ trois cycles sont tels que la droite, qui contient leurs centres de similitude, ne les rencontre pas, on
peut, par une transformation par semi-droites réciproques, les transformer en trois points (').
M. La transforma lion par semi-droites réciproques peut servir, comme la transformation par rayons vecteurs réciproques, soit à simplifier la solution de certains problèmes, soit à généraliser diverses propriétés des figures,
18- Pour en donner un exemple simple, considérons le problème suivant : Construire un cycle touchant trois cycles donnés.
Supposons que les cycles donnés K, K' et K." soient tels que la droite qui contient leurs centres de similitude ne les coupe pas, nous pouvons, d'après ce qui précède, en prenant celte droite pour axe de transformation, transformer les cycles donnés en trois points (ù, (!»' et w". Le cercle passant par ces points délermine deux cycles opposés II et H' dont les réciproques seront les solutions du ptoblème. Deux cycles opposés rencontrant l'axe de transformation aux mêmes points, il en est de même de leurs réciproques;
(') La propriété analogue dans la théorie de la traiisformation par rayons vecteurs réciproques est la suivante : Lorsque deux cercles se coupent, oit peut toujours les transformer en deua: droites.
IRAN SFOn MATIONS PAR 3EMI-DR0[TE3 REGIPRÛOUES. 619
d'où il Sdit qoe le problème propose a deux solutions, et que l'axe radical des deux cycles qui satisfont à la question est l'axe de similitude des cycles donnés.
Le problème de mener un cercle tangent à trois cercles donnés se ramène immédiatement au précédent. On peut, en effel, donner à un des cercles un sens arbitraire, de façon à le transformer en un cycle; on transformera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direction, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes. A chaque groupe de cycles correspondent deux solutions; le problème proposé aura donc en tout huit solutions.
19. Un pointdécrivant dans un sens déterminé une semi-droite ou un cycle, si l'on emploie la transformation par rayons vecteurs réciproques, on voit que le point transformé décrit une autre semi-droite ou un autre cycle (lequel peut se réduire à une semidroile quandle pôle de transformation est sur le cycle considéré).
On pent souvent, avec avantage, employer simultanément la transformation par rayons vecteurs réciproques et la transformation par semi-droites réciproques. Ainsi, en général, étant donnés cinq cycles, on peut, par deux transformations successives, les transformer en deux semi-droites et en trois points. En effet, si deux des cycles se coupent, par une première transformation par rayons vecteurs réciproques, on pourra les transformer en deux semi-droites. Les trois autres cycles ayant pour transformées K,, K' et R", si l'axe de similitude de ces cycles ne les rencontre pas, on pourra, par une transformation par semi-droites réciproques, les transformer en trois points, tandis que les semi-droites se transformeront en semi-droites.
SUR LES HYPERCYCLES.
Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences;
l. Une droite étant donnée, on peut la supposer décrite par un point mobile dans un sens déterminé; je désig^tcrai une pareille droite, dont la position el. la direction sont données, sous le nom de semi-droite (*), A une droite donnée correspondent dons semi-droites ayant des directions différenles, et que j'appellerai semi-droites opposées.
Je désignerai sous le nom de cycle un cercle décrit dans un sens donné; en un point d'un cycle, la tangente est une semi-droite parfaitement déterminée. A un cercle correspondent deux cycles opposés. Il résulte immédiatement de ces définitions qu'à un cycle donné on ne peut mener qu'une tangente parallèle à une semidroite donnée, cjue deux cycles n'ont que deux tangentes communes et un seul centre de similitude, qu'un cycle tangent à trois semi-droites données est complètement déterminé. Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si le point qui le décrit se meut dans le sens des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire, La distance d'un point à une semi-droite est égale au rayon du cycle qui a pour centre ce point el louche la semi-droite ; elle est donc déterminée en grandeur et en signe.
Deux couples de semi-droites (A, A') et (B, B') forment un système harmonique si elles touchent un même cycle et si les points de contact divisent barmoniquement le cycle; A' est dite la conjuguée harmonique de A relativement à B el B'.
(') Dans une Note précédemmcut puliliée. Sur la Géométrie de direction {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VIII, p. Tg6), j'ai désigoé la semi-droite sous le nom de direction; j'ai cru devoir modifier ceue espression le root direction a3'ant en Géométrie un sens très précis.
"Un point doit èlre considéré comme un cycle de rayon infiniment petit.
2. Si l'on considère une courbe algébrique comme l'enveloppe d'une semi-droite, elle ne constitue pas, en général,, un être géométrique ; il faut lui adjoindre la même courbe, enveloppée par la semi-droite opposée. On doit la considérer comme composée de deux courbes opposées, qtii sont l'enveloppe d'un cycle de rayon infiniment petit; en sorte qu'en chaque point il y a deux tangentes opposées et qne l'on doit considérer comme distinctes.
Certaines courbes algébriques (le cercle, par exemple) consliluenl elles-mêmes, quand on attribue à leurs tangentes un sens déterminé, un être géométrique. Un des caractères distinctifs de ces courbes, que j'appellerai courbes de direction, consiste en ce que l'enveloppe d'un cercle de rayon constant, dont le centre décrit la courbe, se décompose en deux courbes distinctes. Il en est de même des courbes que je désigne sous le nom d'hypercycles; elles comprennent l'hypocycloïde à quatre points de rebroussement, la parabole ainsi que les courbes qui leur sont parallèles, el plus généralement toutes les an ticaus tiques de la parabole, les rayons incidents étant parallèles,
Étant donnée une tangente quelconque A. à un hypercycle, il lui correspond une autre tangente A' telle que A, A' et deux, semidroites fixes P et P' (que l'on peut appeler les semi-droites fondamentales de la courbe) forment un système barmonique. Je dirai que deux tangentes telles que A et A' constituent un couple de tangentes conjuguées.
Cela posé, l'hypercycle est défini par la propriété suivante : les conjuguées harmoniques d'une semi-droite du plan D, par rapport aux couples de tangentes conjuguées de la courbe, enveloppent un cycle K,
L'hypercycle est aussi entièrement déterminé quand on se donne les semi-droites D, P et P' et le cycle K, et l'on peut, en s'appuyant sur la définition précédente, construire autant de couples de tangentes conjuguées qu'on le veut. On peut, en particulier, remarquer que tout cycle touchant les semi-droites fondamentales a quatre tangentes communes, avec l'hypercycle ; elles constituent deux couples de tangentes conjuguées, et peuvent se
6a 2 Gl^IOMÉTRIE.
construire a^ec la règle et le compas. Le cercle déterminé par le cycle a quatre autres tangentes communes avec l'iiypercjcle; mais ces quatre tangentes ne constituent pas des couples de tangentes conjuguées et ne peuvent pas se construire au moyen de la règle et du compas.
3. La propriété la plus imporlaote de l'hypercycle est la suivante : Soient A et A' un couple de tangentes conjuguées et a leur point
de rencontre, B et B' un antre couple de tangentes coojugtiées et b leur point de rencontre ; T désignant une tangente quelconque à l'hypercycle, appelons respectivement œ, a', p et j3' les points où T rencontre les semi-droites A, A', B et B', Cela posé, on peut énoncer celte proposition : quelle que soit la tangente considérée, la longueur
aa -\- l' a -\- ii'A -^- hW Sa— S'a'
a une valeur constante en grandeur el en signe.
La même proposition peut encore s'énoncer de la façon suivante : Menons les cycles qui touchent respectivement les semi-droites A,
A' et T et les semi-droites B, B' el T; si l'on désigne par y.„ et ^^
leurs points de contact avec T, la longueur a^fji, a, en grandeur et
en signe, une valeur constante.
4. Cette valeur constante de la distance des points de contact a,, et Pfl varie suivant les couples de tangentes conjuguées que l'on considère. A chaque couple de tangentes conjuguées en correspond toujours un autre, te] que la constante dont je viens de parler soit nulle; je dirai que ces deux couples sont conjoints.
Ainsi, étant donnés un hypercycie et deux couples conjoints de tangentes conjuguées A, A' et B, B', si l'on construit deux cycles Kq et Ki tangents entre eux et touchant respectivement A, A' et B, B', la tangente commune aux deux cycles est tangente à l'hypercycle.
Autrement, si deux cycles roulent l'un sur l'autre, l'un d'eux louchant deux semi-droites A et A', l'autre louchant deux autres semi-droites B et B', la tangente commune aux deux cycles enveloppe un hypercycie, et tout hypercycie peut être ainsi engendré d'une infinité de manières,
o- Un hypercycie étant donné, il existe deux systèmes de cycles
qui lui Boni doublements tangents. Le centre de similitude de deux cvcles, pris arbitrairement dans l'un des systèmes, est situé sur une droite fixe Owq, passant par le point de rencontre O des semidroites fondamentales P et P'; parmi les cvcles du système, il y en a un, Q, qui touche ces semi-droites. Dans l'autre système existe également un cycle 0 qui touche P et P' ; deux cycles appartenant à ce système ont leur centre de similitude sur une droite fixe 09o- Je désignerai les cycles Q et Q sous le nom de cycles principaux, et les droites Ow^ et OOo sous le nom à'axes de l'hypercycle. Les axes et les droites déterminés par les semi-droites fondamentales constituent un faisceau harmonique.
Un cvcle inscrit dans P et P' a, en commun avec l'hypercycle, deux couples de tangentes conjuguées; ces tangentes forment un quadrilatère dont deux sommets sont situés sur la polaire de O, relativement au cycle considéré. Les quatre autres sommets sont distribués deux à deux sur les axes de la courbe.
Le lieu des centres des cycles doublement tangents qui appartiennent au même système que ti est une parabole 11^, et la courbe peut être considérée comme une antîcaustlque par réfraction de cette parabole, les rayons incidents étant perpendiculaires à la droite Owo- A l'autre système de cycles doublement tangents correspond une autre parabole Ha, en sorte que, généralement, l'hypercycle peut être considéré de deux façons différentes, comme l'aoticaustique d'une parabole.
Dans certains cas particuliers, ces paraboles peuvent se réduire à des droites; dans le cas où l'un des deux axes est rejeté à l'infini, l'hypercycle est une courbe parallèle à une parabole.
6. L'hypercycle a été précédemment défini par les propriétés suivantes : les tangentes se distribuent par couples, de telle sorte que deux tangentes appartenant à un même couple (tangentes conjuguées) et les deux semi-droites fondamentales forment un système harmonique; les conjuguées harmoniques d'une semidroite fixe D, par rapport aux couples de tangentes conjuguées, enveloppent un cycle K.
Le même hypercycle peut être ainsi défini d'une infinité de façons; on peut, en effet, énoncer la propriété fondamentale suivante :
Etant donnée une semi-droite quelconque A, les conjuguées harmoniques des tangentes à ce cycle, relativement aux couples de tangentes conjuguées, enveloppent un cycle II.
Je désignerai ce cycle sous le nom de cycle polaire de la semidroite i; les propriétés de ces cycles présentent la plus grande analogie avec les propriétés des pôles des droites dans la tliéorie des coniques.
Voici les principales de ces propriétés :
Si une semi-droite A a pour cycle polaire le cycle II, les cjcles polaires de toutes les tangentes à H sont tangents à A.
Le cycle polaire d'une tangente à l'iiypercjcle touche cette courbe au point de contact de la tangente.
En désignant par 11 et II' les cycles polaires de deux semidroites A et A', on voit que les cycles polaires des tangentes communes à n et n' touchent A et A'. Il en résulte qu'il y a deux cycles polaires qui touchent deux semi-droites données (ou qui touchent une semi-droite en un point donné); en particulier, il y a deux cycles polaires ayant un centre donné.
Si les deux semi-droites A et A' sont opposées, les tangentes communes à H et H' ont pour cycles polaires deux points; il y a donc une infinité de semi-droites dont les cycles polaires se réduisent à des points. Le lieu de ces points est une conique H, ayant pour asymptotes les semi-droites fondamentales, et l'enveloppe des semi-droites correspondantes est un cycle ^.
Si une semi-droite se déplace parallèlement à elle-même, les cycles polaires demeurent tangents à deux semi-droites parallèles aux semi-droites fondamentales P et P'; le point de rencontre de ces semi-droites est situé sur la conique H.
Réciproquement, si par un point quelconque de H on mène deux parallèles à P et P', tout cycle inscrit dans ces semi-droites est un cycle polaire de l'hypercyclc.
7. il ne sera peut-être pas inutile, pour éviter toute difficulté dans l'application des propositions précédentes, de présenter quelques observations sur certaines formes singulières sous lesquelles peut se présenter un cycle.
Un système de semi-droites parallèles détermine un point à l'infini et sur une droite donnée se trouvent deux points à l'infini.
cori-espondanl aux deux semi'-clroites déLcrminées par la droite. Ah point de vue où nous sommes placés, nous devons donc considérer les points à l'inlini comme siuiés sur une conique aplatie, et se réduisant à !a pnriion de la droite de l'infini comprise entre les deux ombilics du plan. A tout point de la conique de l'infini correspond ainsi un système de semi-droites parallèles.
L'ensemble de denx points a et ^ de la conique de l'infini (dédni par les parallèles à deux semi-droites fixes A et B) doit être considéré comme un cycle. Les tangentes à ce cycle, menées par un point M du plan, sont les semi-droites tracées par ce point parallèlement à A et B. Le centre de ce cycle est le point situé à l'infini sur la bissectrice des deux semi-droites A et B, et j'entends par là la droite qui est le lieu des centres des cycles tangents à A et à B.
En s'appiijant sur les définitions précédentes, on peut dire que le cycle polaire d'une semi-droite parallèle à P se compose de deux points de la conique de l'infini, l'un de ces points étant si lue sur la semi-droite P'. Semblablement, le cycle polaire d'une semidroite parallèle à P' se compose de deux points à l'infini, dont l'un est situé sur P.
8. Étant donnés deux cycles A et A', désignons par a el a! les points où ils touchent une des tangentes communes, par b el b leurs points de contact avec l'autre tangente commune, par a et |3 les points milieux des segments aa' et bb' . Je dirai que le cycle K qui touche les tangentes communes aux points a et p est le cycle moyen des cycles donnés et que A' est le symétrique du cycle A relativement an cycle K.
Celte notion a de fréquentes applications. Étant donnés deux couples de semi-droites (A, A') et (B, B'), proposoos-notfs, par exemple, de déterminer les deux semi-droites qui forment uu système harmonique avec A et A', ainsi qu'avec B et B'. A cet effet, construisons le cycle moyen des cycles inscrits respectivement dans les semi-droites A, A', B et A, A', B', puis le cycle moyen des cycles inscrits respectivement dans les semi-droites B, B', A et B, B', A'; cela posé, les tangentes communes aux deux cycles moyens dont je viens de parler sont les semi-droites cherchées.
