Un liypercycle est complètcmeiU dclcrmini^ quand on se

donne deux couples de tangentes conjuguées (A, A') cl (B, B') el iine tangenle quelconque T. Si l'on délei-mine d'abord, comme je viens de le dire, les deux semj-droiles qui formenl avec (A, A') et (B, B') des systèmes harmoniques, on aura les semi-droites fondamentales de la courbe. Que l'on construise ensuite la conjuguée harmonique A^ de T relativement à (A, A'), puis sa conjuguée harmonique B,, relativement à (B, B'), le cycle polaire de T sera déterminé, puisqu'il doit loucher T, Ao et B„.

L'hjpercjcle est donc bien défini, puisque l'on connaît ses deux semi-droites fondamentales et le cycle polaire d'une semi-droite du plan, et l'on peut en construire autant de tangentes qu'on le

10. Soit (A, A') un couple de tangentes conjuguées de l'hjpercycle; leurs cycles polaires ont en commun deux tangentes communes B et B'. Ces semi-droites constituent un couple de tangentes conjuguées de la courbe; leurs cycles polaires sont tangents à A et A'.

Les deux couples de tangentes conjuguées (A, A') et (B, B') sont conjoints; en d'autres termes, si deux cycles respectivement inscrits dans les semi-droites A, A' et B, B' roulent i'un sur l'autre en demeurant constamment tangents, la langeute commune enveloppe l'hypercycle défini par les couples conjoints de tangentes.

11. Si une semi-droite roule sur nn cycle K, le lieu du centre de son cycle polaire est une conique. Sî l'on considère les cycles polaires de deux tangentes quelconques à ce cycle, leur centre de similitude est situé sur une droite fixe D. Il en résulte que l'enveloppe des cycles est un anticaustique par réfraction de conique, les rayons incidents étant perpendiculaires à la droite D.

En particulier, les cycles polaires de toutes les semi-droites qui passent par un point P ont leur centre sur une droite i, A chaque point P d^ plan correspond ainsi une droite A ; si plusieurs points sont sur la droite A, les droites A correspondantes passent par nn point fise Q auquel correspond la droite A. Le système des points P el des droites i constitue donc deux systèmes coixélatifs.

12. Soient K un cycle (piclcoiiquc Inscrit dans les deux semi-

yGoosle

clroiLes foriflamonlales, ii et Q les cj'cles principniix de 3a coiirhe, Qji et 0i les symétriques de K. relalivemeiil à 0 et 8; ces cycles sont aussi évidemment inscrits dans les deux semi-droites fondamentales. En désignant par W) el fl) les points où ÛiCl 0 touchent respectivement A, la longueur oj|9) est parCailemeiit déterminée en grandeur et en signe; j'ap|)ellerai celte longueur/» \e paramètre de la courbe; il est clair que la dislance entre les points où iÏA et 6^ touchent A est égale à -ip.

Cela posé, si une semi-droite roule sur K, son cycle polaire demeure constamment langent à ii* et Oa- Si l'on désigne par w et dj' les tangentes à la courbe menées aux points où elle touche Û et si l'on se donne la semi-droite D, son cycle polaire sera entièrement déterminé, puisqu'il louche Q* au point de contact de ce cycle avec la conjuguée harmonique de D relativement aux semidroites (i> et tu'.

On peut ainsi déterminer aisément le cycle polaire d'une semidroite donnée. Réciproquement, un cj'cle étant donné, il est facile de reconnaître si c'est un cycle polaire et, dans ce cas, de construire la semi-droite correspondante.

Que l'on mène à ce cycle les langentes parailélrs aux semidroites fondamentales, le cycle, d'après une proposition énoncée plus haut, sera un cycle polaire si le point de renconU-e de ces tangentes est sur la conique H lieu des cycles polaires qui se réduisent à des points.

Aulremenl : que l'on mène les deux cycles D^, et Dg cjui touchent K et les semi-dioiles fondamentales; si la longueur comprise sur A entre les points de contact de ces cycles est égale à 2/>, le cycle est un cycle polaire. Les symétriques de D^, el D^ pris respectivement par rapport à û el ^ se confondent alors en un même cycle; et, D' désignant la langenle commune à D„, el Q en leur point de contact, la conjuguée harmonique de D' relativement à ui et à w' a précisément K pour cycle polaire.

Il résulte de ce qui précède que, si deux cycles D^ et D^ inscrits dans les deux semi-droites fondamentales sont tels que la dislance entre leurs points de contact avec A soit égale à 2/>, tout cycle langenl à Dm et D^ est un cycle polaire. Les deux points de rencontre de ces cycles sont donc des cycles polaires qui se réduisent à des points, et sont par suite situés sur la conique II.

Les propriélés [irécécientes conduisent à nn assez grand nombre de propriétés des coniques, parmi lesquelles j'énoncerai seiilemenl la suivante :

Étant donnée nne conique, altribnons un sens quelconque à ses deux asymptotes AeLÂ'. Par un point M quelconque delà conique, menons deux parallèles Q et Q' aux senil-droiles A et A'; par un antre point N pris arbilrairement sur laconique, menons les deux cycles R et K.' qui sont tangents à A et A'. Cela posé, les deux semi-droites Q et Q' el les cycles R el R' sont tangenis à un même cycle K; l'axe radical de R et de R' est la droite qui joint les points de contact de K. avec les semi-droites Q et Q'; la tangente à la conique au point M et les tanguantes menées à K. aux points où ce cycle touche R el R' concourent eu un même point.

13. Soient D une semi-droîle quelconque du plan el K, son cycle polaire; menons à ce cycle la tangente D' qui est parallèle h D. La semi-droite, menée parallèlement à D et D' et qui en est également distante, est la tangente à l'hypocycle qui est parallèle àD.

li. Une des proprlélés les plus utiles de l'hypercycie est la suivante :

Considérons les quatre langenles communes A, B, C el D qui touchent à la fois la courbe et un cycle donné, el soient C et D' les tangentes conjuguées de deux quelconques d'entre elles, CeiD; les quatre semi-droites A, B, C elD' sont également tangentes à un même cycle.

Soient A et B deux tangentes fixes de la courbe; inscrivons un cycle quelconque K dans ces semi-droites et soient C et D les deux autres tangentes communes au cycle et à l'hypercycie. Il résulte de la proposition précédente qu'en désignant par C et D' les conjuguées de C et D, C et Ji' sont tangentes à un cycle K' inscrit dans A et B. Le cycle moyen K-o des deux cycles K. et R' est fixe, que! que soit le cycle K que l'on considère, et il esl complètement déterminé quand on se donne les deux tangentes A et B; c'est le cycle inscrit dans A ei B el qui louche deux tangentes conjuguées (dans le cas où A et B sont elles-mêmes conjuguées, c'est le cycle qui touche ces tangentes et les semi-droites fondamentales); si les

deux tangentes A et B viennent se confondre, le cycle moyen Ko correspondant est le cycle polaire de la tangente.

li résulte de là qne la courbe est entièrement définie quand on se donne deux tangentes quelconques A et B, le cycle moyen correspondant Kj et les deux semi-droites fondamentales. Il est facile en effet de construire les tangentes communes à l'hypercyele et à un cycle quelconque K inscrit dans A et B; que l'on construise le cycle K' symétrique du cycle K relativement au cycle Ko. L'enveloppe des conjuguées harmoniques des tangentes à K' relativement aux semi-droites fondamentales est un cycle K" et les deux tangentes communes à K et à K" seront les droites cliercliées.

De là résulte en particulier un moyen facile de construire le cercle osculateur en un point a de la courbe. A désignant la tangente en ce point, construisons la tangente conjuguée A', puis le centre G du cercle qui touche A' et la courbe au point rt; cela posé, a désignant le centre du cycle polaire de la tangente A, le centre du cercle osculateur cherché est le symétrique du .point G relativement à a. Un hypercycle a un seul foyer F qui est un foyer singulier; la somme des distances du foyer à deux tangentes conjuguées quelconques est constante.

IS. Le cas particulier où les semi-droites A et B sont opposées mérite un examen spécial. L'iiypercjcle peut être défini comme une courbe de quatrième classe et du sixième ordre ayant trois tangentes doubles dont l'une est la droite de l'infini et passant par les ombilics du pian. Les tangentes doubles sont des tangenles doubles apparentes; car, aux points de contact, la courbe a des directions opposées; en réalité, on doit les considérer comme des tangentes distinctes, mais opposées.

Les quatre points doubles de la courbe déterminent trois couples de droites correspondant respectivement aux tangentes doubles; les deux droites dont l'ensemble correspond à la droite de l'infini sont les axes de la courbe et se croisent au point O, qui est l'intersection des semi-droites fondamentales, lesquelles passent d'ailleurs par les points de contact de la droite de l'infini avec l'hypercycle.

Soient A et B les deux autres tangentes doubles de la courbe et R leur point de rencontre; la droite menée par le point O pcr-

pendlciilairement à la bissectrice des semi-droiles fondamentales (j'entends par là le lieu des centres des cycles inscrits dans ces deux semi-droites) rencontre respectivement A et B en deux points aeib dont le milieu est précisément le point O, Désignons par a et p les milieux des segments Ra et Rb, nous pourrons énoncer la propriété suivante : Si une langenieàla courbe coupe A et B aux points a, et ^i et si nous déterminons les points a^ et ^3 qui sont respectivement les symétriques de a, et ^i relativement à « et ^, la semi-droite ^2^3 est tangente à ia courbe et est la conjuguée de la tangente a, p,,

La tangente double A rencontre la courbe en deux points distincts des points de contact; ces points sont équidislants du point a et les tangentes sont conjuguées. Une propriété analogue a lieu relalivement à ia tangente double B,

La courbe est entièrement déterminée quand on se donne les deux semi-tîroiles fondamentales, une des tangentes doubles A et le point a; on peut énoncer en eifet la proposition suivante :

Inscrivons dans les deux semi-droites fondamentales un cycle quelconque K; désignons par a' le point où la corde de contact coupe la tangente double A, par a le point symétrique du point a' relativement au pointa. Cela posé, les tangentes menées du pointa à la courbe sont parallèles aux tangentes que l'on mène du point a .ucjcIeK.

Cette construction permet de déterminer facilement les tangentes parallèles à une direction donnée ou émanant d'un point quelconque de la tangente double, cl par suite tous les éléments importants de la courbe.

i6, Ava«t d'exposer de nouvelles propriétés de l'hypercycle, je rappellerai d'abord quelques notions fondamentales relativement à la transformation par semi-droites réciproques.

Celte transformation est complètement définie par les propriétés suivantes :

Deux semi-droites réciproques se coupent sur une droite fixe A que l'on peut appeler axe de transformation; deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tangents à un même ojcie.

J'ajouterai que deux couples de semi-droites barmouiques ont

pour réciproques <leu\ couples de scmi-droilcs iiat'monicjues et que la distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangenlielle des cycles réciproques; j'entends ici par distance langentielle de deux cycles la longueur comprise sur l'une quelconque des deux tangentes comninocs entre leurs poinis de contacl.

Gela posé, il résulte de la définition même des hypercycles que ces courbes onl pour rransformées par semi-dmiles réciproques d'aiilres hypercycles; les serai-droites fondamentales de la traos- Ibrmée étant les transformées des semi-droiies fondamentales de la courbe donnée.

Aux tangentes conjuguées de cette courbe correspondent les tangentes conjuguées de la transformée, etc. Je ferai remarquer à ce sujet qu'une tangente double de la proposée étant une tangente double apparente a pour transformées deux tangentes ordinaires de la transformée.

Considérons un cycle quelconque K inscrit dans les deux semidroites fondamentales; il a en commun avec la courbe quatre langentes qui se coupent deux à deux sur l'an des axes Oti)„. Effectuons une transformation par semi-droites réciproques, de telle sorte que ce cycle se transforme en un point ; les quatre tangentes auront pour transformées deux couples de semi-droites opposées; de telle sorte que, relativement à la courbe transformée, deux couples de tangentes conjuguées se composeront de semidroites opposées.

Si l'on coupe ces tangentes par une tangente quelconque rencontrant ces deux couples aux points a, c/ et jS, p', on a, d'après une propriété générale énoncée plus liaut,

Or, dans ce cas particulier, les points a et ^ se confondent, ainsi que les points a' et P'; a« est opposée à />p el 7.' a à 6^'; on a donc a^ = y.'P'^ o, h^^ cta et ^p'= œ'«, et par suite

d'où il suit que la courbe transformée est une parabole. Ainsi (si l'on admet des transformations imagtnair

Iiypercycle, sauf un cas parLiciilier que j'esamineral plus loin, esL la iransformée par senii-droiles réciprocjues d'une parabole.

i7. La transformalion peut se faire de deux façons différentes, correspondanl aux deus axes de la coni-bc. Los paraboles résultant de la transformation ont même paramètre; sa valeur est égale au pîiramSlrej9 de i'JiypercjcIe.

La proposition précédente est au fond identique avec une de celles que j'ai énoncées plus haut, à savoir que l'hypercycie peut être considéré comme une anticauslique par réfraction d'une parabole, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'un des axes ('); mais la forme actuelle a l'avantage de montrer immédiatement comment on peut étendre à l'hypercjcle les propriétés connues de la parabole.

La parabole elle-même peut être considérée comme un hypercycle composé de deux branches opposées, en sorte qu'en chaque poiuldela parabole passent deux tangentes distinctes, et la théorie que j'ai exposée précédemment fournit un grand nombre de propriétés nouvelles de cette conique.

Le cycle polaire d'une semi-droite du plan i, relativement à une parabole P, peut se construire facilement. Du pôle A de A, relativement à P, abaissons une perpendiculaire sur A et prenons son point de rencontre B avec l'axe de la courbe ; le cycle cherché D a AB pour diamètre et son sens est entièrement déterminé par celte remarque qu'au point A la langenle est parallèle à A. On voit par cette construction que deux semi-droites opposées ont des cycles polaires opposés.

Les semi-droites fondamentales sont opposées et déterminées par la position de l'axe; deux tang-entes conjuguées sont donc symétriques par rapport à l'axe.

18. Il y a un cas particulier remarquable, dans lequel il est évidemment impossible de transformer un bypercycleen une parabole; c'est celui où son paramètre/) est nul. La courbe est alors de la troisiùme clssse et je la désignerai sous le nom i'hypercycle

cubique; elle peut être définie comme une courbe de troisième classe a^ant une tangente double, louchant la droite de l'infini et passant par les ombilics du plan.

Sa propriété caracléristiqiie consiste en ce que tous les cycles polaires louchent une des demi-droiles fondamentales P; celle-ci est elle-même tangente à la courbe, et je l'appellerai tangente fondamentale. L'autre semi-droite fondamentale est parallèle et de sens contraire à la tangente 6 à la courbe qui passe parte point de contact de celle-ci avec la droite de l'infini.

Un hypercycle étant défini par ses semi-droites fondamentales, une semi-droite A et son cycle polaire, cet hypercycle est de troisième classe si ce cycle polaire louche une des semi-droites fondamentales et tous les autres cycles polaires touchent également cette semi-droite.

Un hypercycle cubique étant donné, ses serai-droites fondamentales ne sont pas déterminées. Prenons arbitrairement une tangente A à cette courbe, nous pourrons la regarder comme une tangente fondamentale et lui adjoindre une semi-droite A' antiparallèle à %, de telle sorte qu'à chaque tangente T de la courbe en corresponde une autre T' constituant avec celle-ci et le couple (i, A') un système harmonique.

Tous les théorèmes généraux donnés précédemment relativement à l'hypercycle général s'appliquent à l'hypercycle cubique, mais l'application peut en ^tre faite d'une infinité de manières, puisqu'il y a une infinité de modes de groupement des tangentes,

L'hypercvcle cubique se relie encore à la parabole d'une façon étroite; c'est, en effet, une aal\cA\isl\<\»e, par réflexion de parabole, les rayons incidents étant parallèles, et elle peut être d'une infinité de façons considérée comme une anticaiistique d'une pareille courbe,

19. Les propositions relatives aux tangentes communes à un cycle et un liypercycle sont notablement modifiées quand la courbe est de la troisième classe, puisque dans ce cas il n'y a plus que trois tangentes communes.

J'énoncerai ici le théorème important qui suit : T et T' désignant deux tangentes quelconques conjuguées dans un mode de groupement caractérisé par la tangente fondamentale Do, A et B

634 OÉUyÉTHIL.

deux autres tangentes quelconques, construisons les cycles K. et K.' qui totieheat respectivement A, J3, T et A, B, ï'; cela posé, le cycle (') moyen de K et K' est langent àD.

Considérons en particulier le mode de groupement où les tangentes isotropes issues du foyer F de la courbe sont conjuguées el appelons A la tangente fondamentale correspondante (celte tangente est celte que l'on peut mener dit pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tangente double); nous pourrons énoncer la proposition qui suit et qui donne une propriété de deux tangentes quelconques :

Etant données deux tangentes quelconques A et A' à l'hypercycle, soient m le centre du cycle tangent aux semi-droites A, A' et i, et a le point de rencontre de A. et A'; la droite menée par m perpendiculairement à ma^ passe par le foyer F de la courbe.

En voici quelques conséquences : imaginons que, A. restant fixe, A' se déplace langentiellement à la courbe; en désignant para le point de rencontre de A et de A, le point m décrit ta bissectrice am des deux semi-droites A el A (droite qui, comme je l'ai déjà rappelé plusieurs fois, est entièrement déterminée), et la bissectrice HîK des deux tangentes A et A' enveloppe une parabole l* ayanl F pour foyer.

Or de là résulte immédiatement que l'hypercycle peut être considéré comme l'enveloppe des cycles qui touchent A et ont leur centre sur la parabole P; en d'antres termes, l'tiyperbole est une anticanstique par réilexion de la parabole P, les rayons incidents étant perpendiculaires à la tangente A.

La courbe peut donc être considérée d'une infinité de manières comme anticaustique de parabole; toutes les paraboles ont pour foyer F, et les tangentes menées aux sommets sont tangentes à l'enveloppe des bissectrices telles que ma; c'est précisément celle

e que le ujtic moyen de Jeus cycles ayant l'cspcclivi

s a et 6, pour rayon R et lî', est le cycle ayant poi

R + li' segment ab et pour rayon ■ — ;

des paraboles considérées qui correspond à une direcllon des rayons lumineux perpendiculaires à A.

Celle parabole iT a pour tangente au sommet la normale menée à la courbe au point où elle touche 4; elle peut être également considérée comme le lieu des projections du foyer F sur les normales à l'hypercycle.

20. Je mentionnerai enfin un élégant théorème de Géométrie élémenlaire qui résulte immédiatement de la proposition précédente :

Étant données quatre semi-droites quelconques A, B, C et A, désignons par a, b, c les sommets du triangle déterminé parles côtés A, B, C («élanll'inlersectioade B et de C, etc.), et par a, ^, Y les centres des cycles inscrits dans les triangles détermines par les côtés B, C et A, C, A et A, A, B eî A; cela posé, les droites menées par les points a, p et y, et respectivement perpendiculaires aux droites a«, ^ù et yc, se coupent en un même point.

Ce point est, en effet, le foyer de l'hypercyole cubique déterminé par les cinq conditions suivantes, à savoir qu'il touche les semi-droites A, B, C, et que A soit la tangente fondamentale correspondant aux tangentes issues du foyer.