ANIICADSTIQUES PAR RÉFLEXION M LA PARABOLE

LES IlA'YtiNS INCiriESTS r.TAMT PARALLELES.

Nouvelles Annales de Mathématiques : i

1. J'appelle bissectrice de deux semi-droÎLes données !a droite pnrfaitement délerminée qui est Je lieu des cvcles tangenls ;'i ces demi-droites; la droite menée par leur point de rencontre et perpendiculairement à la bissectrice sera désignée sous le nom de bissectrice impropre.

Deux semi-droites sont symétriques par rapport à leur bissectrice impropre; je dirai qu'elles sont anti-symétriques pur rapport à leur bissectrice.

Ces définitions étant posées, je m'appuierai sur les lemmes sui-

Lemmb I. — Quatre semi-droites étant données, si l'on considère trois à trois ces semi-droites, on obtient quatre triangles; les centres des cycles inscrits dans ces triangles sont sur un même cercle.

Considérons en eft'et (^t^. i) les quatre semi-droites AB, BE, EA et CF. Les bissectrices des côtés du triangle ABC le coupent au point 8, celle du triangle BCD au point a, celles du triangle EDF au point p et celles du triangle CFA au point y. Pour établir que ces quatre points sont sur une même circonférence, il suffit d'établir que l'angle aS]3 est égal à l'angle «yP-

On a évidemment

bS>. ^-lîE5-i-EB3 =iëEA + iEBA— -iBAH; d'aulre part, on a

La proposition esl donc démonlrée.

2. Sur la circonférence ay^S, considérons le point M. diamélralement opposé au point S, on voit que les droites Ma, M^ et My sont respectivement perpendiculaires aux droites Ba, E^ et A-f. Or a est le cenlre du cycle qui touche les semi-dl-oites AB, BE et CF, p le centre do cycle qui louche les semi-droites BE, AE et CF, et Y le cenlre du cycle qui touche les semi-droites AE, AB et CF. On peut donc énoncer la proposition suivanle:

Lemme il — Étant données quatre semi-droites D, D', D" et i, soient a, a', a" les centres des cycles inscrits respectivement dans les triangles déterminés par les semi-droites (D', D", i), (D", D, A) et (D, D', A) ; désignons par p le point de rencontre de D' et D", par p' le point de rencontre de D™ et de D et enfin par p" le point de rencontre de D et D'.

Celaposé, les droites menées par les points a, al, ci!' et perpendiculaires respectivement aux droites a^, a'p', a"j3" concourent en un même point.

3. Considérons mainlenant deux semi-droites fixes A et A et une semi-droite mobile B assujettie à la condition suivante, à sa-

638 ciÉoiiiiiniE.

voir que, p désignanl le point de renconire de A cl de A, q te ceolredu cycle inscrit dans le triangle formé parles semi-droites A, A et i, la droite menée par q perpendiciilairemenlà/if^ passe par un point fixe F.

La semi-droile B enveloppera dans son mouvement une courbe parfaitement déterminée; elle est de l'espèce de celles que j'ai appelées hypercycles et de la troisième classe ; c'est donc un hypercycle cubique. Dans tout le cours de celte Noie, quand il n'y aura aucune confusion à craindre, je la désignerai simplement sous le nom A' hypercycle ; comme je le montrerai plus tard, le point fine F est le foyer de celle courbe ( ' ).

4. Un hypercjcle étant ainsi délint par les deux semi-droites A et A, considérons une autre tangente quelconque à la courbe C; en désiguaot par /■ le point de rencontre djs A et de C, par s le centre du cycle tangent ans semi-droites A, C et i, il suit de la définition de la courbe que la droite menée par s perpendiculairement à TS passe par le foyer de la courbe. Soient maintenant a le point de renconire des tangentes G et B, p le centre du cycle langent à B, Cel A, il résulte du lemme II que la droite menée par^ perpendiculairement à ^a passe également par le foyer F,

Nous pouvons donc énoncer celte propriété fondamentale.

ÏHÉoitJîMF, I. — Étant données deux tangentes quelconques de Vhypercycle, considérons le centre du cycle qui touche ces deux tangentes et la semi-droite A; les droites, qui Joignent ce centre ait foyer de la courbe et au point de rencontre des tangentes, sonC perpendiculaires entre elles.

5. Considéronsune tangente A {fig. 2) à un liypercycle II el a le point où elle touche la courbe ; la tangente infiniment voisine A' passe par le point A et la bissectrice de deux semi-droites A. et A' est la normale menée au point a ; soit a le point où celle normale rencontre la liisseclricc des semi-droites A et A ; d'après le tliéo-

(') Voir à oc sujet mu Note Sui- les hypercycles {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séances des so mars, 3, 10 et 34 "vrA i

précédent, la droite Fa est perpendicula lile, parallèle à A, D'où la proposition si

ivanle :

Étant donnée une tangente A à l'kypercycle H, que par le foyer F de la courbe on mène une parallèle à A, et que l'on

prenne son point de rencontre a ctvec la bissectrice des semidroites A et ^; que du point a. on abaisse ensuite une perpendiculaire de la tangente A, le pied a de cette perpendiculaire est le point de contact de A avec la courbe.

6. La semi-droite A est tangente à la courbe. Supposons en effet {Jig. 2) rhypercj-cie défini par la semi-droite A et une tangente quelconque A. Soit ww' la bissectrice des demi-droites A et A; abaissons du point F une perpendiculaire Vp sur ww', puis, du point/», une perpendiculaire /ïo sur A, Si nous imaginons nue semi-droite A' infiniment voisine de 4 et passant par le point </, la bissectrice de A et de A estla droite wtu', le centre du cycle langent à A, A et A' est évidemment le point p et, comme p¥ est perpendiculaire à />(!), il résulte du théorème I que A' (el par suite A) est tangente à l'kypercycle ; son point de contact est le point A.

Je dirai que A est la tangente principale de la courbe.

Dans la démonstration précédente, A est une tangente quelconque de riiypercjcle; lorsque cette tangente varie, on voit que

64o o.ioiiÉTniE.

la bîsseclrice tiitù' enveloppe une parabole n ayant F pour foyer, eljoS pour tangenie au sommet : cela résulte immédiatement de ce que l'angle Fpio est un angle droit.

Il est aisé de voir que Ja droite toùj' touclie ia parabole n au point a; de ce point, comme centre, décrivons un cycle touchant à la fois i et A; son enveloppe, lorsque A se déplace langenliellement à Phypercycle.etque le point a décrira la parabole II, se compose de la semi-droite i et de l'hypercycle H : on peut donc dire que le lieu des centres des cycles, qui touchent Vhypercycle et la tangente fondamentale A, est la parabole II.

En d'autres termes :

L'kypercycleM est une anlicaustigue {*) pur réflexion de la parabole n, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe de cette parabole.

Remarque. — On volt que ia parabole II est le linu des points *; il en résulte que la parabole II est le lieu des projections du foyer F sur les normales à l' hypercycle .

7. Tangentes que l'on peut mener à la courbe par un point situé sur une tangente donnée.

Soient un .hypercycle H défini parson foyer F, sa langeole principale A et une tangente quelconque A; soit, de plus, ww' la bissectrice des semi-droites A et \. Etant pris sur A un point quelconque M, si nous imaginons «ne lang^ente quelconque menée de ce point à la courbe, il suit du théorème I qne, du centre du cycle inscrit dans celte tangente, A et A, on doit voir sous nn angle droit le segment MF. Soit MF comme diamètre décrivant un cercle, et soient a, [3 les points où ce cercle coupe la bissectrice ww'; il est clair, d'après ce qui précède, que les tangentes que, du point M, on peut mener à la courbe (et qui sont distinctes de A), sont les antisymétriques de A relativement aux droites Ma et M p.

Remarque 1. — Il résulte de la construction précédente que par chaque point du plan passenttrois tangentes à la courbe : l'hypercycle est donc une courbe de la troisième classe.

(') Dans la suite de cette Note, cliaque fois que je parlerai d'une anikausUque, sans rien menlionncr de plus, je supposerai cxpressémcnl que les rajons iiici-