SUB LES ASTIGATÎSTIQUES PAR RÉFLEXION DE LA PARABOLE

Remarque II. — Par le foyer F, menons une droite qui soit parallèle à la bissectrice (iKi)' et qui rencontre A au point/?; soit^ le point symétrique de^ relativement au point w, intersection de A el de A. Si, sur q F comme diamètre, nous décrivons un cercle rencontrant [a bissectrice ww' aux points a et p, le centre de ce cercle est évidemment sur cette bissectrice; l'angle a.qf, est par conséquent droit, et les deux tangentes, que du point g on peut mener à Thypercjcle (indépendamment de la tangente A), sont des semidroites opposées : cela résulte immédiatement de la construction donnée ci-dessus.

Ces deux tangentes sont distinctes, ainsi que leurs points de contact ; la droite qui correspond à ces deux semi-droites opposées est donc une tangente double de la courbe; mais elle doit être considérée comme une tangente double apparente (' ).

L'hypercjcle, étant de la troisième classe et avant une tangente double, est du quatrième degré.

Remarque III. — Supposons que le cercle décrit sur MF comme diamètre soit langent à la bissectrice tsxa'; les points y, et p étant confondus, il en est de même des droites Ma et Mp;par suite, les tangentes menées du point M à la courbe (el distinctes de A) sont confondues. Le point M est donc situé sur la courbe; d'où la conclusion suivante :

Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la tangente A; par les deux points F et P on peut mener deux eercles tangents à la bissectrice de A et de la tangente /ondamentale, les points où ces cercles coupent A sont les deux points {distincts du point de contact) oU cette tangente coupe V hypercycle.

(') Au point de vue ofi nous sommes placé ici, une semi-droite est tangente double d'une courbe, si, en deui de ses points, elle a même direction que cette courbe; c'est alors une tangente double effective. Mais, si une droite est telle, qu'en la prenant d'aboid dans un sens déterminé elle taucbe la courbe et qu'elle la touche encore en la prenant dans le ocns inverse, on a une tangente douille apparente .

Lorsqu'on effectue une transfoimation par directions réciproques, une tangente double effective a pour transformée une tangente double effective, tandis qu'une tangente double apparente (qui résulte de la superposition de deux tangentes opposées ) a pour transformées deux tangentes ordinaires distinctes.