L. — II

8. Tangente parallèle à une semi-droite donnée. — L'hjpeicycle étant défini comme précédemment par son foyer F, la tangente fondamentale A et une tang;ente quelconque A, proposonsnous de mener à cette courbe une tangente parallèle à une semi-droite donnée D.

Construisons à cet effet la bissectrice (D, A) (') et menons par le foyer F une perpendiculaire à (P, A); par le point P, où cctle perpendiculaire coupe la bissectrice (A, i), menons une parallèle à (D, A) rencontrant au point a la tangente A. Il résulte du théorème i que l'antisymétrique de A relativement à la droite «^ est une tangente à la courbe qui est évidemment parallèle à la semidroite donnée D.

On peut donc mener une tangente et une seule, qui soit parallèle à la semi-droite donnée ; comme on peut mener également une tangente parallèle à la semi-droite opposée, il en résulte que, par un point situé à l'infini, on peut, généralement mener deux tangentes à la courbe. La courbe étant de troisième classe, on voit qu'elle est nécessairement tangente à la droite de l'infini.

Deux cas particuliers sont à remarquer : si la droite donnée est antîparallèle à A, les bissectrices (D, A) sont (A, A) perpendiculaires, et le point ^ est répété à l'infini, La tangente antiparallèle à A étant rejetée à l'infini, on voit que le point de contact de l'hypercycle avec la droite de l'infini est sur A; en d'autres termes :

La tangente principale est la tangente gue Von peut mener à la courbe par le point où elle touche la droite de l'infini.

Considérons, en second lieu, le cas où D est une direction isotrope ; je ferai remarquer à ce sujet qu'«ne semi-droite isotrope doit être considérée comme se confondant avec son opposée {*).

Si donc on considère un des ombilics du plan (c'est-à-dire des ^deux points imaginaires communs à tous les cercles du plan), on ^oit que par ce plan on ne peut mener à la courbe qu'une tangente

(') Ici et comme dans tout ce qui suit, je désigne, pour abréger, pai tioii (P, Q) la bissectrice de deux semi-droites données P et Q.

(■) On voit qu'il n'y a pas besoiu de distinguer le sens dans lequel e une droite isotrope; ainsi droite isotrope et semi droîle isotrope ont ci la même signification.

distincte de la droite de l'infini : d'où il résulte que ce point est siliié sur la courlje.

L'hjpercjcle est donc une courbe de la troisième cla>se et du quatrième degré, tangente à la droite de l'infini et passant par les ombilics. Elle a un seul foyer, qui est un fojer singulier; la construction donnée ci-dessus montre aisément que ce foyer est ie point F (').

Réciproquement, toute courbe de la troisième classe et du quatrième degré qui louche ia droite de l'infini et passe par les ombilics du plan est un bypercjcle,

9. Voici encore une conséquence de la construction donnée cidessus. Une tangente A étant donnée, cherchons à déterminer ia tangente A' parallèle à la direction opposée. La bisseclrice (A, A*) est une droite parallèle à A, et la perpendiculaire abaissée du foyer F sur cette droite rencontre la bissectrice (ikd' au point M {.fig- 3) : d'ofi il résulte que A' est l'antisymélrique A par rapport à la droite MN menée par le point M parallèlement à A.

Or l'enveloppe de cette droite est aisée à trouver; l'angle MFa étant droit, le point M décrit la directrice de la parabole II, et l'angle NMF étant également droit, MN enveloppe une parabole II', qui a pour foyer F et pour tangente au sommet la directrice MR de la parabole II.

Je ferai remarquer que la droite RS, menée par le point R perpendiculairement à RF, est la tangente double de la courbe.

10. L'hypercvcJe étant défini comme enveloppe d'une semidroite mobile est, comme le cycle, une courbe de direction; je veux dire par là qu'en chacun de ses points ia tangente est déterminée de position et de direction.

Considérons un cycle G et le cercle K déterminé par ce cycle; le cercle K étant de seconde classe et l'hypercycle de la troisième, ces deux courbes ont en commun six tangentes dont la direction est déterminée, puisqu'elles touchent l'hypercycle. De ces six

(') Il suffit de reii drolie isotrope est c(

demi-droites, trois seulement sont tangentes à G, les autres étant

tangentes an cycle opposé.

Ainsi, un cycle et un hypercycle ont trois tangentes communes.

i\. Détermination des tangentes communes à un cycle qui touche une tangente à l'hypercycle. — Considérons un cycle (À qui touche une tangente A à l'iiypercycle ; il a en commun, avec cette courbe, deux tangentes que l'on peut déterminer par la règle et le compas.

A cet effet, A désignant la tangente principale de la courbe, F son foyer et ww' la bissectrice (A, D), appelons O le centre du cycle donné, et qui est ainsi bien défini; sur OF comme diamètre, décrivons un cercle K qui coupe ww' aux points y et S; joignons O a et O (3, et soient y' et S' les points où ces droites rencontrent la tangente A.

Cela posé, on vérifiera facilement que les tangentes menées des points a' et p' au cycle C sont les tangentes cherchées.

12. Construction du cycle osculateur en un point donné. — Soit {jîg- 2) à construire le cycle osculateur au point a où la tangente A touche la courbe. Si le cycle C est osculateur, les points y' et S' doivent se confondre avec le point a, et par conséquent les points y et S avec le point a. Le cercle K touche donc la bissectrice tiKo' au point a, et son centre est déterminé, puisqu'il est, en outre, sur ta droite élevée par le milieu du segment Fa perpendiculaire à ce segment.

De là la construction simple suivante :

¥p étant la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la bissectrice tiiw', déterminons le point g symétrique de p par rapport à a et au point q, menons une droite perpendiculaire à tùtù' : le point 0 oà cette droite rencontre la normale est le centre du cycle osculateur de la courbe au point a.

13. Lieu des centres des cycles qui touchent l'hypercycle et une tangente donnée de cette courbe. — En conservant les mêmes notations que ci-dessus, supposons que le cycle qui a pour centre le point 0 soit tangent à l'hypercycle; les deux points y*

SUR LES ANTICAUSTIQUES PAR RÉFIEXION DE lA PARABOLl!. G45

et S' seroQl alors confondus, ainsi que les points y, 8. Le cercle décrit sur OF comme diamètre tonche donc lotij' ; son centre 0', étant également distant du point F et de wm', décrit une parabole ayant F pour foyer el ww' comme directrice, et, par suite, le centre O décrit une parabole P ayant F pour foyer et wtu' pour tangente au

La même proposition peut s'énoncer de la façon suivante :

Uhypercycle est une anticaustique de la parabale P, les rayons incidents étant perpendiculaires à la tangente A.

Un hypercycle peut être ainsi considéré d'une infinité de façons comme une anticaustiqae de parabole; tontes les paraboles qui correspondent à ce mode de génération sont homofocales, et leurs tangentes ait sommet enveloppent la parabole H.

14. Il résulte également de là le tbéorème suivant, qui exprime une propriété de six semi-droites quelconques tangentes à un même hypercycle :

Théorème IL — Si six semi-droites A), Aj, Aj, A,, A^ et A» sont tangentes à an même hypercycle, les cinq bissectrices (A,, Aa), (A|,Aa), (A,, A,), (A,, A^) et (A,, A^) sont tangentes à une même parabole.

Le foyer de cette parabole est le foyer de l'kypercycle.

15. Comme je l'ai dit plus haut, l'hypercycle est une combe de direction; en d'autres termes, en chaque point de cette courbe, la tangente est déterminée non seulement en position, maïs encore en direction. Il en est de même du cycle; mais une courbe algébrique, prise au hasard, n'est pas une courbe de direction.

Étant donnée une courbe algébrique K de classe /i, si, en la supposant décrite dans un certain sens, on peut la transformer en une courbe de direction K,,, il faut que, étant donné un cycle quelconque G, des 2/( tangentes communes à K et à G, n soient seulement des tangentes effectives à K,,, les n autres étant des tangentes apparentes.

De là résulte que l'équation qui détermine les tangentes communes à K el à C doit, par l'extraction d'une simple racine carrée.

646 ÛÉOMÉTHIE.

se ramener à la résolution des deux équations du degré «; et, comme (en coordonnées rec Lan gaila ires) l'équation tangentielle d'un cercle quelconque est

il en résulte que l'équation tangentielle la plus générale d'une courbe de direction est de la forme

F et <& désignant deux fonctions rationnelles de ti et de c.

16- Lorsque l'équation d'une courbe algébrique K dn degré n n'ust pas de la forme que je viens d'indiquer (telle est, par exemple, une conique quelconque différente du cercle), pour la transformer eu une courbe dé direction, il faut la considérer comme double, et comme le réstiltat de la superposition de deux courbes opposées qui sont l'enveloppe d'un cjcle de rajon infiniment petit dont le centre décrit la courbe K.

Une telle courbe doit être considérée comme double ; en chacun de ses points on peut mener deux tangentes qui sont des seraidroites opposées, et, au point de vue où nous sommes placés, elle est de la classe 2n.

17. Étant données une courbe algébrique quelconque K et une semi-droite A, considérons les cycles qui, ajant leur centre sur K, sont tangents à A; ils enveloppent évidemment une courbe de direction G qui est une anticaustique de K, les rayons incidents étant perpendiculaires à A.

Ainsi toute anticaustique d'une courbe algébrique est une courbe de direction; réciproquement, étant donnée une coiirbe de direction quelconque G, elle est une anlicaustique d'une infinité de courbes algébriques que l'on déterminera de la façon suivante.

Étant prises arbitrairement une semi-droite A et une tangente quelconque T à la courbe G, que l'on construise la bissectrice (T, A); lorsque Tse déplace tangentiellement à G, la droite (T, A) enveloppe une courbe algébrique K, qui est le lieu des centres des cycles qui louchent à la fois A et la courbe G.

Si la courbe G est une courbe double, en chaque point M de

SUR LES AKTIGÂTISTIQUES P

cette courbe, on peut mener deux tangentes opposées, et si N désigne le point où elles rencontrent A, par N passent deux bissectrices rectangulaires entre elles, dont l'enveloppe est la courbe K. Dans ce cas, l'enveloppe des cycles tangents à i el ayant leur centre sur K est la courbe double G, chaque point M de G étant le point de contact de deus cycles tangents à A et ayant leur centre sur K; ou, si l'on veut encore, chaque point de G étant situé sur deux rayons réflécliis sur K.

18. On peut encore énoncer les résultats qui précèdent sous la forme suivante : G désignant une courbe algébrique, traçons dans le plan une droite arbitraire D, menons une tangente T à G et construisons les deux bissectrices rectangulaires des droites T et D; cela posé, lorsque T se déplace tangentiellement à k courbe, ces bissectrices enveloppent une autre courbe . Si cette dernière courbe se décompose en deux autres, on peut transformer la courbe G en une courbe de direction en donnant en chacun de ses points une direction à la tangente. On retrouverait ainsi la condition analytique que j'ai donnée plus haut, à savoir que l'équation en coordonnées tangentielles d'une courbe de direction est de la forme F.(„, ,) = (,,= +P>)*'(B,^).

Les courbes parallèles à une courbe de direction et l'enveloppe de ses normales sont également des courbes de direction ; il en est de même des caustiques par réflexion des courbes algébriques, les rayons incidents étant parallèles.

19, Considérons une courbe de direction G qui est l'enveloppe des cycles dont les centres décrivent la courbe K, tandis qu'ils demeurent tangents à une semi-droite A,

Effectuons une transformation par semi-droites réciproques ; soient Go la transformée de G, et Aq la semi-droite transformée de A. Gu peutêtre considéré comme l'enveloppe decycles tangents à Ao, et dont les centres parcourent une courbe K,,.

Il est aisé d'établir que Ko est une transformée homographique de K, la transformation étant de telle nature que la droite de l'infini se coiTCspond à elle-même.

Prenons en effet pour axe des x l'axe de la transformation, et pour a\e dcs^ une droite perpendiculaire. Soient x, y les coor-

données du centre d'un cjcle tangent à A et à G, el r son raj'on; soient X, Y les coordonnées du cercle transformé et R son rayon. On aura les formules suivantes (',) :

en éliminant R entre les denx dernières relations, il vient

Si maintenant on remarque que le cercle de rayon r demeure tangent à une semi-droite fixe du plan, on voit que, en grandeur et en signe, r est exprimé par une fonction linéaire de x et de^.

On a donc une relation de la forme

où Â, B, C désignent des constantes, et cette formule, jointe à la formule X.:^ 3!, démontre la proposition énoncée.

Une transformation homographîque, qui conserve la droite de l'infini, transformant une conique en conique et une parabole en parabole, il en résulte qu'une anticauslique de conique se transforme, par une transformation par directions réciproques, en une anlicaus'ique de conique, el qu'un hjpercycle (qui est une anticaustique de parabole) a pour transformée un autre hypercycle (*).

20. Un hypercycle est déterminé quand on se donne cinq de ses tangentes. ~ Cinq tangentes A, B, C, D, E étant en effet données, que l'on conslraise, par exemple, les quatre bissectrices (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), et la parabole P tangente à ces quatre droites; il est clair, d'après ce qui précède, que l'bypercycle est l'enveloppe des cycles qui louchent A, et dont le centre décrit P; son foyer est du reste le foyer de P,

La proposition précédente signifie qu'il y existe un seul hjper-

(■) Voir le Traité de Géométrie t!e MM. Rouché et de Comberousse, 5* édition, p. 270, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 3" série, t. 1, p. 5So.

(') Sur ee poiot et sur d'autres propriétés de l'iiypercyde, voir ma Noie Sur les hypercycles, insérée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, séances des ao et 37 mars, 3, 10 el î4 """il iSSa.

SUR LES ANTICAUaTHJTIEa P

cycle touchant cinq semi-droites données, mais il y existe seize hjpercycles louchant cinq droites données. Ayanl en effet altrîbué un sens arbitraire à l'une des droites pour la transformée en senii-droites, on peut attribuera chacune des quatre autres iinsens arbitraire, ce qui donne lieu à seize combinaisons différentes.

21. Indépendamment de la droite de l'injini, deux hypercycles quelconques H et H' ont quatre tangentes communes. — Soient, en effet, Hj, la courbe H' considérée indépendamment de son sens; Hn et H, étant toutes les deux de troisième classe, ont neuf tangentes communes. Abstraction faite de la droite de l'infini, il en reste huit autres qui sont tangentes soit à H, soit à la courbe H) opposée à H. Deux hjpercjcies ne peuvent d'ailleurs, d'après le théorème précédent, avoir plus de quatre tangentes communes; des huit tangentes considérées, quatre sont donc tangentes à H et qnalre tangentes à H,, ce qui démontre la proposition énoncée.

22. Faisceaux d'hypercycles. — Je dirai que l'ensemble des hypercycles qni touchent quatre semi-droites données constitue un faisceau.

Il est clair, d'après ce qui précède, que, parmi les hypercycles d'un faisceau, il n'y en a qu'un qui touche une semi-droite donnée; on prouvera facilement qu'il y en a quatre qui passent par un point donné.

Le lieu des foyers des hypercycles du faisceau déterminé par quatre semi-droites données A, B, C, D est le cercle qui contient (lemme I) les centres des cycles inscrits dans les triangles que l'on détermine en considérant trois à trois les semi-droites données.

Considérons en effet les bissectrices (A, B), ( A, C) et (A, D ) ; on voit que les foyers des hypercycles du faisceau sont les foyers des paraboles tangentes à ces trois droites ; or, d'après un théorème connu, le lieu de ces foyers est le cercle circonscrit au triangle formé par ces droites, d'où la proposition énoncée.

23. Hypercycles exceptionnels. — Un point d à l'infini étant défini par un système (D) de semi-droites parallèles entre elles, on peut considérer l'ensemble du point d et d'un cycle quel-

conque C comme conslitiianl un hjpercycle. Les tangentes que l'on peut, d'un point quelconque M du plan, mener à cet hypercjcle exceptionnel se compoyent des tangentes menées du point M au cjcle et de la semi-droite menée par M parallèlement au système (D).

Etant donné un tel lijpcrcjcie exceptionnel (rf, C), si l'onmène à C une tangente antiparallèle au système (D) (*}, cette tangente esl la tangente principale du cycle exceptionnel, et la droite correspondante en esl la tangente double.

C'est ce que l'on verra facilement surla/ï^. 2, en supposant que le foyer F se rapproehe indéfiniment de la bissectrice ww' et vient se placer sur cette droite, auquel cas l'hypercycle se réduit à un cycle et à un point à l'infini.

24. Un faisceau déterminé par quatre semi-droites A, B, C, D renferme quatre cycles exceplionnels, à savoir :

Celui qui est déterminé parle cycle inscrit dans A., B, Cet le point à l'infini sur D, celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans B, C, D et le point situé à l'infini sur A, celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans C, D, A et le point situé à l'infini sur B, et enfin celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans D, A, B et le point à l'infini sur C.

La considération de ces cycles exceptionnels esl d'une grande importance dans la théorie des faisceaux d'hypercycies, théorie sur laquelle j'aurai occasion de revenir.

(') Je rappellerai que deux st mi-droites sont dites aniiparallèles lorsque, droites qu'elles dét