SUR QUELQUES PROPRIETES DES CYCLES
Nouvelles Annales de Mathémaliques, 188S.
i. Étant donnés deux cycles A el B, menons-leur une tangente commune; la dislance comprise entre les points de contact de cette semi-droite est la distance tangentielle des deux cycles. Elle n'est évidemment déterminée qu'en valeur absolue; dans tout ce qui suit, je la désignerai simplement sous le nom de distance des deux cycles.
On sait que, si l'on effectue «ne transformation par semi-droites réciproques, la distance de deux cycles est égale à la distance des deux cycles correspondants.
2. Éfant donnés trois cycles A, B et C, on peut clierclier de quelle façon sont distribués dans le plan les cycles éqm'distants de ces trois cycles. Si nous effectuons une transformation par semidroites réciproques, de telle sorte que, les cycles a, ^ ely correspondant aux cycles donnés, œ et ^ soient opposés, il suffira évidemment de résoudre le problème proposé relativement à la nouvelle figure.
Il est aisé de voir que les cycles équidislantsde deux cycles opposés a et p se réduisent aux points du plan. Désignant, en effet, par R et — R les rayons des cycles opposés, par p le rayon d'un cycle équidistant de et et de {i, par d la dislance de son centre au centre commun de a et de ^, on a
rfs(R P)!= or=— (R-i-p)s
d'où
Rp = o;
yGoosle
et, comme R esL supposé différent de zcro, il suit nécessairemet
ce qui démontre la proposition énoncée.
Les c^-cles éqiiidislants de œ, ^ et y devant se réduire à des points, on les obtiendra tous en considérant les divers points de l'axe radical D des cycles a et y; et de là, si l'on revient à la première figure, on voit que les cycles équidistants de trois cycles donnés A, B, C sont tangents à deux semi-droites fixes A et A' qui sont les transformées des deux semi-droites opposées définies par la droite D. Ces deux semi-droiles passent d'ailleurs parles points/* et q, inteiseciions des cycles a et y, lesquels points peuvent être considérés comme les cycles tangents à a, p cl y.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Les cycles équidistants de trois cycles donnés A, B ei C touchent deux semi-droites fixes A et A', qui sont les tangentes communes aux deux cycles qui sont tangents â A, B e( C
J'appellerai ces semi-droites les semi-droiles radicales , des cycles A, B et C; leur point de rencontre est évidemment le centre radical des trois cycles.
3. Proposons-nons de trouver les cycles équidistants de quatre cycles donnés, A, B, C etD. Dans ce but effectuons une transformation par semi-droites réciproques, de telle sorte que a, p, y et 2 correspondent respectivement à A, B, C et E, a et p soient des cycles opposés.
Les cycles équidistants de a et de p se réduisant aux points du plan, il est clair qu'il n'y a qu'un seul cycle qui soit équidistant des cycles a, p, y et S : c'est le centre radical des cycles i, y et S ; et de là, en revenant à la figure primitive, on peut conclure que :
Il n'y a dans le plan qu'un seul cycle équidistant de quatre cycles donnés A, B, C et D.
Je le désignerai sous le nom de cycle radical des cycles A, B, G etD.
■i. Le cycle radical de A, B, C et D étant équidistant de A, B
SUR QUELQUES PROPIIIÉTÉS DES CYC1E3. Ojî
et C touche les semi-droites radicales de ces trois cycles ; d'où la proposition suivante :
Étant donnés quatre cycles, les semi-droiles radicales de trois quelconques de ces cycles touchent leur cycle radical; en groupant de toutes les façons possibles trois à trois les quatre cycles donnés, on a donc quatre systèmes de deux semi-droiles gui touchent le cycle radical.
Un cas particulièrement remarquable est le suivant :
Soient A| , Aj, A3 et A.i quatre semi-droites données ; A, désignant l'une quelconque d'entre elles, appelons Kj le cycle qui touche les trois autres. Nous déterminerons ainsi quatre cycles K, , Ku, K3 et K, ; soit K leur cycle radical.
Il résulte de ce qui précède que R est tangent aux trois semidroites radicales de K, , K^ et K3 ; or ces cycles touchent tous les trois la semi-droite A^ et il est aisé de voir que, quand trois cycles sont tangents à une même semi-droite A, leurs deux semi-droites radicales se confondent entre elles ou, pour parler plus exactement, se composent de deux semi-droites se coupant en leur centre radical et différant infiniment peu de la semi-droite menée en ce point parallèlement à la semi-droite A.
On conclut de là que le cycle K passe par le centre radical de K, , K2 et K3 et est tangent à la semi-droite menée par ce point parallèlement à Aj .
D'où la proposition suivante :
Si l'on considère de toutes les façons possibles trois quelconques des cycles K,, Ka, K3 et Rj et leur centre radical, on obtient quatre points qui sont sur un même cycle R et les tangentes menées à ce cycle en ces points sont respectivement parallèles aux semi-droites Aj, Ai, A3 eï A,.
Ce cycle R est le cycle radical de R), Ra, R3 <?' R.i-
3. Les quatre cycles K,- qui sont ainsi déterminés par les semidroites A, , Aj , A3 et Ai jouissent d'un grand nombre de propriétés remarquables. J'énoncerai ici la suivante :
Si, parallèlement à une semi-droite donnée A, on mène des tangentes à R,, R3, R3 et R^, le rapport anharmonique de ces
quatre semi-droites est constant quelle que soit la direction, de à.
Pour démontrer cette proposition^ j'énoncerai d'abord le iemme Sdivant dont l'application est fréquente :
Lemmë. — Si l'on effectue une transformation par semidroites réciproques, à quatre semi-droites parallèles entre elles correspondent également quatre semi-droites parallèles.
Le rapport anharmonique de celles-ci est égal au rapport anharmonique des quatre premières,
La démonstration de ce Iemme résulte immédiatement de ce que deux semi-droites correspondantes se coupent au même point de l'axe de transformation.
Cela posé, je remarque que l'on peut toujours effectuer une transformation par serai-droites réciproques, de telle façon que deux semi-droites données aient pour transformées deux semidroites opposées; le théorème que nous voulons démontrer élant
projeci
if, il suffira donc de le démontrer dai
Soient donc {Jig- i) ea, bc, ab et ba. quatre
i-droites
données ('), K le cycle tangent à bc, ca et ab, K' le cycle tangent
(') Lorsque je désigne une semi-droite par deux, lettres, l'ordre dans lequel sont placées ces lettres indique le sens de la semi-droite; ainsi PQ désigne une sernidruite décrite par un point mobile allant du point P au point Q. Il en résulte que PQ et QP sont deui semi-droites opposées.
