QUELQUES PROPRIÉTÉS DES OYCIES

ba, ca eL bc. Il est clair que le cycle tangent à ca, ab et ba se réduit au point a et que le cycle langent à bc, ab et ba se réduit au point h.

Cela posé, menons aux deux cycles K et K' des tangentes parallèles à une semi-droite prise arbitrairement et soient respectivement a et u! les points où ces tangentes coupent la droite ab. Les points aet a' se correspondent de façon qu'à un point a correspond un seul point et' et réciproquement à un point a' correspond un seul point œ. En effet, si l'on se donne par exemple le point a, on ne peut par ce point mener au cycle Kqu'une seule tangente distincte de ab', d'autre part, on ne peut mener au cycle R' qu'une seule tangente qui soit parallèle à celle-ci; le point u! oii elle coupe ab est donc déterminé.

Il résulte de là que les points a et a' déterminent sur la droite ab deux divisions homographiques dont les points doubles sont évidemment les points a et b, et par suite, en vertu d'une propriété bien connue, le rapport anharmonique des quatre points a, a', « et b est constant. Il en est évidemment de même du rapport anharmonique des tangentes passant par les points a cl n! et des parallèles à ces tangentes menées par les points a et b. En d'autres termes, le rapport anharmonique des semi-droites, menées parallèlement à la semi-droite prise arbitrairement et tan genti elle ment aux cycles K, K', a et b, est constant; ce qui démontre la proposition énoncée.

6. Étant données deux semi-droites quelconques A et A', circonscrivons à Kl un angle dont les côtés soient parallèles à i et i', et soit P, le sommet de cet angle.

Soient de mêmePs, P3 et P^ les sommets des angles analogues circonscrits aux cycles K^, K^ et K,. Le rapport anharmonique de quatre côtés de ces angles étant égal au rapport anharmonique des quatre autres, il suit de la proposition fondamentale de la théorie des coniques que /ei quatre points Vi sont sur une conique ayant ses asymptotes parallèles à i^ et à A'.

En particulier, supposons que A et A' soient deux droites isotropes de système différent; les points P^- sont les centres des cycles K,. On peut donc énoncer la proposition suivante, que j'ai

déjà démontrée directement dans une Note antérïenre (') : Les centres des cycles K,- sont situés sur un même cercle.