J'énoncerai encore la proposition snivanle

Étant donnés deux cycles K et K', si l'on considère quatre cycles quelconques H,, Hj, H^ et H^ doublement tangents à K et à K', et si, à ces quatre cycles, on circonscrit des angles ayant leurs côtés parallèles aux deux tan gentes communes à^ et à K', les quatre sommets de ces angles sont sur une conique ayant leurs asymptotes parallèles à ces tangentes communes.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de faire voir qne le rapport anharmoniqne des semi-droites, menées tangenticllement ans cycles K,* parallèlement à l'une des tangentes est égal au rapport anharmonique des semi-droites menées à ces cycles parallèlement à l'autre tangente; et, comme cette propriété est projeclive, il suffit de la démontrer dans un cas particulier. Or on peut toiijours efTecluer une transformation par directions réciproques, de telle sorte que les cycles K et K' soient opposés entre eux; les cycles Hi se réduisent alors à quatre points du cercle Ko déterminé par K et K'; les deux tangentes communes à K et à K' sont des droites isotropes et l'on sait, par la propriété fondamentale du cercle, que les droites isotropes d'un système qui passent par ces quatre points ont leur rapport anliarmonique égal au rapport anharmonjquc des droites isotropes de l'autre système qui passent par les mêmes points.

La proposition est donc entièrement démonlrée.

Une conique dont la direction des asymptotes est donnée étant déterminée par trois de ses points, la proposition précédente peut s'énoncer ainsi qu'il suit :

Si l'on considère tous les cycles H qui touchent deux cycles donnés K et K' et si, à chacun des cycles H, on circonscrit un angle dont les côtés soient parallèles aux tangentes communes

( ') Sur tes anticaustiques par réflexion de la parabole {Nouvelles Annales),

3UH QUELQUES PHOPBIÉTÉS IHiS CYCLES. 657

à K e; « K', le lieu du sommet de cet angle est une conique dont les asymptotes sont parallèles à ces deux tangentes.

Il est facile de voir que celte conique a effecùvement ces deux tangentes pour asymptotes et qu'elle passe parles points d'interseclioû des cycles K et K.'; d'oii encore la proposition suivante :

Etant donnée une conique quelconque, attribuons un sens quelconque aux asymptotes de cette conique de façon à les transformer en deux semi-droites A et à'. Cela posé, considérons deux points quelconques M et N de la conique; par le point M, on peut mener deux cycles tangents à à et à ^'; parN on peut mener deux parallèles à ^ et A' : ces deux cycles et ces deux parallèles sont tangents à un même cycle P.

J'ajouterai que la corde qui joint les points de contact de P avec A et A' est l'axe radical des cycles qui, passant par M, touchent ces deux semi-droites.

8. Il est aisé de voir que le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi qu'il suit :

Par deux points donnés y et S, on peut mener deux cercles K et K' qui touchent un cercle donné C; par les points où la droite yS rencontre C, menons des tangentes à ce cercle, soit s leur point de rencontre. Par les points y, 3 et s, faisons passer une conique ayant ses asymptotes parallèles aux tangentes dont Je viens de parler; les asymptotes de cette conique sont deux tangentes communes à K.et à K'.

On peut généraliser ce théorème en faisant une transformation homographique de telle sorte que les ombilics du plan deviennent deux points quelconques a et P; on obtient alors la proposition suivante :

Etant donnés deux points quelconques o. et ^ sur une conique C, par deux points y et 8 du plan et les points a. et ^ on peut mener deux coniquesK. et K.' qui touchent G; par les points où la droite yt coupe C, menons des tangentes à cette conique et soit £ leur point de rencontre ; soient de plus \ et^ les points où la corde a^ rencontre ces tangentes. Cela posé, si l'on con-

struit la conique déterminée par les cinq points X, y., y, S et s, les tangentes menées à cette Conique aux points \ et y- sont deux tangentes communes à K et àVJ (').

9. En particulier, supposons que les points y cl S soient les ombilics du plan; la proposition précédente pourra s'énoncer ainsi qu'il siiit :

Étant donnés sur une conique C deux points ix et p, on peut par ces points mener deux cercles qui touchent C; ces deux cercles ont pour tangentes communes les tangentes menées au cercle qui passe par le centre de la courbe et les points où la droite a^ coupe les asymptotes, aux points situés sur la droite ctfj.

Il est d'ailleurs évident que ces langentes communes aux deux cercles se coupent en un de leurs centres de similitude.

10. Proposons-nous maintenant le problème suivant (proposé cette année comme sujet de la composition d'admission à l'École Polytechnique) :

Étant donnés deux cercles K et R' se coupant aux points a et p, construire les diverses coniques qui, passant par a et (3, touchent ces cercles.

Construisons deux tangentes communes à K et à K' passant par un de leurs centres de similitude, puis le cercle H qui touche ces tangentes en leurs points de rencontre avec la droite ap. En désignant par A et [ices deux points, il est clair, d'après la proposition précédente, que si l'on prend un point O quelconque sur le cercle H et si l'on joint 0\ et 0|*, la conique qui, passant par les points a et ^, a pour asymptotes OX et 0[a louche les deux cercles K etK',

Le lieu des centres des coniques cherchées est donc le cercle H, et l'on voit que l'angle formé parles asymptotes de toutes ces coniques est constant.

C) La détermination des deux autres tangentes ci rait lieu à des reclierclies intéressantes.

Un tlicorcmc analogue au précédent a lieu â l'égard des c une conique donnée, deux tangentes à celte conique etdeui

SUR QOELOUES rROPRiÉrÉs des CÏCLES. 659

En considérant les deux tangentes communes qui passent par le second centre de similitude, on obtiendrait un autre système de solutions, le lieu des centres de ces coniques étant un second cercle ayant, comme il est facile de le voir, même centre que le premier.