RÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES

FIllOTION OUI SATISFAIT A Il\li ÉÇIATION BiPPlillENTIELLE ll\ÉAIHK

DONT LES COEbTIClENTS SONT RATIONNELS (' ). Journal de Mathématiqui^s pures et appliquées: iS85.

1. Je considère une série z, ordonnée suivant les puissances décroissantes de x et qui satisfait identiquemenl à l'équation diTféi-entielle linéaire

(l) W3'=2V5-hU,

où U, V et W désignenl des polynômes entiers, et je me propose d'étudier son développement en fractions continues,

La série s peut, d'ailleurs, être divergente pour toute valeur de x; rien n'empêche de la réduire en fractions coûtinues; il sera seulement nécessaire de déterminer pour quelles valeurs de x les réduites forment une suite convergente et quelle est la fonclioii dont elles donnent la valeur.

Dans tout ce qui suit, étant donné un polynôme ou une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x, j'appellerai degré du polynôme ou de la sériels degré de son premier terme,

( 1 ) Ce Mémoire aurait dû figurer à Ja lin du Tumc I.

et je représenlerai simplemenl par la notation {— ^)' fin faisunt abstraction de ses coefficients, une série commençant pai- rni terme du degré — n.

2. Cela posé, on sait que,/„ désignant un poljnome entier de degré «, on peut toujours disposer des (n -\- \) coeflicients qu'il renferme, de telte sorte que, œ„ désignant la partie entière de z/„, le développenient de l'expression s — -"1- commence par un terme du degré de ,„+^; une telle fraction ^ se nomme une réduite de z. Pour certaines valeurs du nombre entier «, il peut même arriver que l'approximation soit plus grande et que le premier terme du développement de s — -^ soit d'un degré inférieur à celui de ^,^ — ; dans ce cas, il y a surapproximation.

En général, on aura donc, d'après la définition des réduites,

où p désigne un nombi-e entier positif ou xéro ; de là el, en portant ces valeurs de z et z' dans la relation (i),

Soil fj. le degré de la série Vf— ) + VV (— 1 ; i! est clair que le premier membre de cette égalité est un polynôme entier; il en est de même du second, qui est du degré (p — p); on pourra donc poser, en désignant par A„ une constante dont la valeur dépendra du nombre entier n et par0„ un polynôme entier du degré u — o,

<a) U/,? + aVç„/„-W{<f,',/„-/,>„)=A„e„.

yGoosle

0„ est un poljnome enlier du degré [* — p, il est, par conséquent, d'un degré égal ou inférieur à ji. En général, il est du degré [i, et son degré ne s'abaisse que quand, pour certaines valeurs du nombre «, il y a siirapprosimation. Le maximum d'approximation aura lieu pour p = it., auquel cas 0 est une constanle ; une approximation plus grande ne peut avoir lieu : autrement, 9 étant nul, on voit que z serait égal à la fonction rationnelle y^) cas que j'écarte expressément.

3. Réciproquement, si l'on peut déterminer deux polynômes entiers «„ et f„, tels que le premier membre de l'égalité (2) se réduise à un polynôme du degré ji ou d'un degré inférieur, -^ est une réduite de la série s.

Ayant posé, en effet,

d'où

l'identité (2)

devient

^^^ = U-F-iVs-VVs'— îVu-

- Wii'

ou encore, p;

ir suite de l'équation (i),

Le premier m

lembre de cette égalité est au plu

s du degré de

d'où il résulte que u est au plus de degré de —^^^i' el, pai ^ est une réduite de la série s.

4. Toute la c|uestion se réduit aiosi à la si>UiLion par des polynômes entiers de l'équation (2), le polynôme 0„ étant d'un degré uu plus égal à |ji; et, tout d'abord, j'en déduirai que j,, satisfait à une équation linéaire du second ordre.

A cet effet, je forme l'équation

qui

r solution:

My-Ny+iv^o,

■En posant, pour abréger,

on a, d'après une formule connue,

N rf

M dw "^"^

w m\ calcul facile donne

, .r\(l'" ti.A? + '-'Vy.^/-.-w(>f;,/„-/;,y„)

et, en tenant compte de l'idenlilé (a),

d'où

et de là résulte immédiatement que l'équation cherchée est de la forme

(■j ) we„ /"+ [(2 V + w )e„ - wô;, ]/ -h k,,/ = 0.

Cette équation doit, d'ailleurs, être satisfaite quand on y fait y ^= f,^; K„ est donc un polynôme entier dont le degré est indépendant du nomhre n.

o. Supposons maintenant que, K„ et W„ désignant des polynômes entiers dont le dernier soit d'un degré égal ou inférieur à [i, un polynôme entier /,, satisfasse à l'équation (3), je dis que l'on

peviL dctermifler le polynôme U qui figure dans l'équalîon fliff<;renlielle (i), de telle sorte que la série z qui satisfait à cette équation ail une réduite dont le dénominateur soit /„,

Soient, en effet, a, p, y, ... les diverses racines de l'équation y„(3;)=o; décomposons en éléments simples la fraction ^yr' et posons

A,t9,. G^ y /"fl .y ?« W/,î' W ^(a^ — a)' jLix — 'y.

Pour avoir les coefficients p^ et Ça, il faut diviser

A4e.(a) + e;(ï)A] par

/,U=')lW(a)/;(a) + [W(«)/;;(a) + W'(a)/;,(a)lA!;

or, f„{x) satisfaisant à l'équation (3), on a évidemment

e„(a)[W(cc)/i(a) + W(B)/;,(^)]=/;,(^)[W(«)e;,(a)-aV(:*)6„(a)l;

le diviseur devient, par suite,

/;■(., [wt.)^^'"-'-;-:;'"'^-'"/.],

et le quotient

d'où l'on déduit la relation suivante

Je pose

ait

') Il résulte d'ane remarque importante due à M. Hermile que la déterminan des polynômes G^^, P,, et cp,, n'esige pas la résolntion de l'équation /„= o.

el je considère l'expression L'idenlilé démontrée plus hanl,

lonlre que celte expression ne devtenl infîaie pour aucun des ■ros de /„ ; on a donc, H„ désignant un polynôme enlier.

Éliminons P„ entre les jdenlités (4) et (5), il viendra, après avoir chassé le dénominateur,

A„e„=(G„-i-H„)/,|^2Vç„/„=W(cp;,/„-/,W„);

et de là résulte la proposition que je voulais démonticr.

8„ étant, en effel, d'un degré au plus égal à w, il est clair que -j^ est une réduite de la série s qui satisfait à l'équation dîf-

6. Pour déterminer complètement l'équation différentielle à laquelle satisfait le dénominateur /„ d'une réduite, il est néce.-^saire de connaître les polynômes Q„ et K„ qui j figurent.

Afin de trouver leur expression ou de montrer au moins comment on peut les calculer par voie de récurrence, je m'appuierai sur les considérations suivantes :

On sait qu'entre les termes de deux réduites consécutives on a la relation suivante

A,i(i étant une constante dont on peut choisir arbitrairement la valeur, puisque les deux lennes de la réduite ne sont déterminés qu'à un facteur constant près; je supposera! que celle constante est précisément celle que j'ai introduite dans l'idenlilé (a).

Cela posé, de la relalion précédente et de la relatii (6) ,./.,-/,.,,., -A.

qui s'en déduit, on tire

d'o;,, en posant

'ailles, où Q„ esl un poljiiome du premier degré,

^o^lons inainlenanl, duns la relal.ion (2), la valeur de A„ tirée de l'équation (6), celte relation pourra se mettre sous la fiirnio suivante

d'où ces formules, où û„ désigne un polynôme entier,

' j w<fi;=(ii„+v)(p„-i-e,ç„.i-i-u/„.

7. Sï„ esl un poljnome enlier dont i! est facile de déterminer le degré; on déduit, en efïei, de la première des formules (8),

ii en résulte que le terme du degré le plus élevé de ce polynôme

esl le premier terme du développement de l'expression V H ;

la fraction ê„-y^ est, en cfict, du degré de v/^) + w(^)-

8. En dérivant la première des identités (7) et eji nnilllptianl par W le résultat obtenu, il vient

w/u, — \vQ„/;, - WQ,',/„-i- WB.,,/;,^, = o

on a, d'ailleurs, les identités

w/,;^i = (iî„^.- v)/„^,+ e„^,/„, w/; -(a„ -V)/„ +ti„ /„-„

Wf„^, = (û,,-, - V)/„i + a„,/„, ; porLant ces valeurs dans la relation précédente, on a (iJ,+,-V)/,+,-^[e,.^i-WQ:,-Q„(ii„-Vjj/„

-I- [R„Ctî«^.- V) - Q„e„]/„,-(- R;,12„-,/„-, = o,

puis, en remplaçant /n^r par sa valeur Q„/„ ^ Tt„/„i ,

- lR„(ti„^, - ii„0 + Q.0»]/«-i-r R„e„~,/«-. = o. On a, d'ailleurs,

d'où les deux formules suivantes :