On déduit de la première des identités
ou, en miiUipliant par W ei rempla<;ant Wy,', et W/^,, par leurs valeiir's,
^¥5/,;= t{a„— V — W) (ii„— V) -i- W(Si;,— v')]/„
■+-[e„(£i„-4-a„-i— aV — w')-i-we;,]/„-i-i-8„6„,/,j:
portons cette valeur et la valeur précédemment trouvée de W/J, dans la relation
Wae„/;+[(3V-+-W')e„— "we;,]w/;+K„\v/„= o;
il viendra, toutes réductions faites,
|6„(sij— V5)-i-w[e„(û;,— v')~e;,(ii„— V).-4-K„]i/„
-H e,Uû„+ ii«-i)/,-L -t- e?.e„,/„-î = o.
Le polynôme qui multiplie W dans le coefficient de/,i est évidem-
ment divisible par 0„ ; posant donc
Sn (<>;, - V) - e;,(ii„ - V) -t- K„ = - 0„ s,,
d'où l'on dédiiii
(II) K„=e',.(fi„ -\) — e>„(i'.'„-\'') - fl„s„,
l'idenlité préeédeiile deviendia
(fiî- v^— w5„)/„-t-e;,(£i,-,-i-sï„-,)/,,-,-i-ô„e;j, /„-s= o,
où S,j désigne nn polynôme enlier.
Ayant, d'ailleurs, la relalion
on déduit de là les formules suivantes :
""-'■- nhjr' -"'-
JO. De la
i-clal
iou (.a) résulte l'égalltc
= (O,^, - û„ ) ( ii„„ + Q„ ) - ^2~- -
ou, en remplaçant Q„+, '\~ ii„ par sa valeur déduite de l'identité (i3),
OU encore, eu vertu de (y),
d'où enfin
11. Je résumerai ici les conséquences 1res simples de l'analyse un peu longue qui précède.
On a, eiUre les termes des diverses réduites, les relations suivantes :
où R„ désigne un nombre qne l'on peut choisir arbitrairement, 0„ un polynôme entier du degré y., Q„ un polynôme entier du degré [a + i dont le terme du degré le plus élevé est le premier
terme du développement de V H- > et Q„ un polynôme du
premier degré.
Ces polynômes
(H) Q.ai
liés entre euN par le
s relations s.
.'-"--ICT''"-
^ wq;,,
suivante, où S„ est
nn polynon
On peut ajouter que, si l'on pose, pour abréger,
K„=e;(si„— V)-e„(tif, — V') — e„s,„ /„ satisfait à l'équation différentielle du second ordre
(3) W8„yH-[(2V + w')o„— we;,]/-i-K„/ = o.
12. Je me propose maintenant de montrer que les relations (g) et {i3) suffisent pour déterminer par voie récurrente les polynômes Q„, 6„ et iin, et, à cet effet, j'établirai le lemme suivant :
Lemme. — Si des polynômes /„, y„, Q„, **„, û„ et les nombres R„ sont liés entre eux par les relations (y), (g) et (i3) et si l'on définit deux suites de polynômes \.„ et B„ par les égalités suivantes :
^„ = ( ti„— v)/„ - w/; H- e„/„-„
B„:= (a„-(- V}?,,— \V't;,-H e„cp„^„
SUR LA RÉDUCTIOM EN FH.VGT1
on a, entre Irois polynômes consécutifs de chacune des suites, les relations
Démonstration. — Je ne m'occuperai que des polynômes A„, la marche à suivre élanl exactement la même poiir les polynômes B„.
On a, en vertu même de la définition donnée,
et de même
Portons ces valeurs dans l'égalité
"w/;,+, = QoW/;+ wq;,/„-i- r„w/;i
qui résulte immédiatemenl de la première des équations (y); il viendra
( a,,,., - V)/„+, + |ô„^i - wq;, .- Q„(i!„ - V)]/„
.-i-[R„(Si„,~V)-Q„e„l/„,
ouj en remplaçant /„+, par sa valeur Q«/« — R„ /,,(,
^- R„e„,/„j- A„^.i-i-Q„A„— R,iA,j.,z=o OU encore, en vertu des identités (9) et (i3),
Ce qui, par suite de l'identité,
se réduit à
Une démonstration analogue s'appliquerait auK polynômes B.
13. Supposons maintenant cjue l'on ait déterminé trois suites de polj-nomes 0„, Q„ et Q„ par les relations (9) et (i3), puis deux suites de polynômes »„ elfa par les relations (7); qu'enfin, pour deus valeurs consëculives de l'indice, on ait
Il résulte du lemme précédent que l'on a égalemeut
et
et, par suite, les polynômes f„ et /,j satisfont aux équations (8). Or, en éliminant û„, on en déduit
'W(/;,-?„^rf;/„)=iVç„/„ + e„(^„/„,-/„ç„,)-u/,h
ce que l'on peut écrire
et, (y„/„i — fii'^ii-i) étant une constante en verlu des relations (7), on voit que le second membre est un polynôme du degré [a, et, par suite, la fraction ^ est une réduite de la série s.
14. Ainsi toute la question est ramenée à déterminer par les identités (9) et (i3) les polynômes Qn, %„ et Q,,.
Si l'on met en évidence leurs coefficients inconnus, en égalant à zéro les multiplicateurs des puissances de x, on obtiendra un cerfain nombre d'équations qui permettront de déterminer leî coefficients de Q„, Q,l+^^ ©w+i au moyeu des coefficients de ii„, ©„et ©,,,.
15, Comme application, je considérerai d'abord le cas le plus simple, à savoir : celui où les fonctions ©„ sont des constantes et où [J.^ o. C'est ce qui a lieu si W est au plus du second degré el si V est au plus du premier degré.
Gcunme 0„ est une constante et que Rn, jusqu'à préseul, est resté arbitraire, je poserai
et les équalions (i a) et (i3) deviendront alors (t5) <i„+, + (i„ = -Q„,-
(16) lij — V'— R„ r^ WS„,
et, ajant déterminé les polynômes entiers qui saUsfont à ces équations, on aura les relations
(S) ) W/i=(Si«-V)/„+R„/„i,
' \V9;,--(ii„-t-V)¥„+ R„o„,-t- U/„:
en oiLlre, /„ satisfait à l'équation ilifFérentielle
\vy + (av -h \V')y- (û;,— v'-H s„)j- = o,
où lo coefficient de ^ est nécessairement nne constante.
16. Considérons, par exemple, la fonction z ^= log ( ^ J qui satisfait à l'équation diEférentJelIe
on a ici
Le poljnomc Q», dont le terme du degré le plus élevé est le premier terme du développement de n , est de la forme
r identité
donne
ï„=.o, li„=n\ S„=«i;
d'où, en vertu de l'équation (lï),
puis les relations
d'oi'i l'on déduirait aisément les relations connues entre !es poîjnomes X^ de Legendre.
L'équation difFérentieUe du second ordie à laquelle satisfait /^j est, d'ailleurs,
(a^^— i)y' -^ ^xy — n(n -h i)j- = o.
17, Comme second exemple, je choisirai la fonction
qui satisfait à l'équation différenlielle
son développement suivant les puissances décroissantes de a: est, d'ailleurs, la série
qui, si elle ne se termine pas, est toujours divergente, quelle que soit la valeur donnée à x.
On a ici
Le terme du degré le plus élevé de Q„ étant le premier terme du développement de V H —, on peut poser
L'équation diliérenlielie a laquelle satisfait /„ est
icy" i-(a7-(-i — a)y- ■?,„y-o;
d'où résulte évidemment S„= n.
L'identité
donne alors
et les formiiles suivantes :
/„+, = -(^ + ,«-^,-.)/„^«(«- =:)/„-„ 9„+, =- (^ + î« + . - a)if„- ,i(n-^)f„-,;
OU plutôt si l'on cl^ange les signes des deux termes des réduites de rang impair (ce qui est permis, puisque cela ne change pas In valeur de la réduite),
Un calcul direct donne d'ailleurs les valeurs snivanles pour les termes des premières réduites,
en sorte que les formules précédentes permettent de calculer facilement, par voie récurrenle, les valeurs de /„ et de cp„.
\8. En partant de l'équation dilTérentielle (,8) ^y^ (.v + t^ ^)y'- ny = o,
à laquelle satisfait le polynôme/",,, on Irouve aisément
Une deuxième soltillon de l'équation (l8) est donnée (n° 3) par la fonction
=aX"—
il est facile de trouver une autre expression de u„. En effet, en dérivant n fois l'équation (i8), il vient
d'où l'on voit que j/("+<' est égal, à une consLante près, i'i „^t a ■ Par suite, on a, K désignant une constante et r(^) un polynôme entier,
La fonction «„ est on particulier donnée par cette formule, et, comme elle s'évanouit r|uand on donne à x une valeur positive infiniment croissante, on a simplement
u„ =f.J %-^^« -' d^ - 3-^e-^^„ = mJ
Si l'on suppose a: et n constants (et je supposerai x positif, en sorte que les intégrales contenues dans l'égalité précédente sont toujours finies, quel que soit a), K est une fonction de a bien déterminée.
Pour en trouver la valeur, je supposerai que l'on fait tendre x vers zéro et que a a une valeur positive; de l'égalité précédente, on déduit alors
/,.(o)r(«) = Kr(=),
d'où
19. On lire de là elle a une valeur plus petite que l'intégrale
fy'"-""'-
il serait même facile de démontrer qu'elle tend vers zéro quand Il augmente indéfi.nimeni.
On a, d'ailleurs,
fn
quel que soit le nombre a, les lerines de ce développement finiront par être lous du même signe, el, comme leur degré par rapport à rt va loiijours en croissant, on voit que la valeur absolue de la série croîtra indéiiniment avec le nombre n. Le coelficient
(,-a)(a-ai...(«-^)
■i ainsi pouL- liiiiile zéro, e( Ton a
Les réduites i^'j quoique provenant de la réduction en fractions conlinnes d'une série divergente, fournissent donc, avec une approximation indéfinie, la valeur de l'intégrale / e^^x'^~^clx^ pourvu que X ait une valeur positive.
50. Soil, par exemple, à calculer l'inlégrale en posant t = \/3, elle devient dont la valeur approximative, en prenant seulement la réduite y ,
Faisant a =; 3, on trouve, coi
approchée,
dont les trois premiers chiffres significatifs sont exacts.
21. Les formules précédenies permettent de calculer aisément les valeurs de la lonction de Prvm,
Que l'on désigne, en effet, par F,{«), F, (i), F,(i), ...,*.(a), <I>i (a), $a(a), ... deux sniies de polynômes liés entre eux par les letations suivantes :
F,(i) = i, F,(,) = a-., il résulte des fortmiles piécédentes que l'on a
Soit, par exemple, a; = i .
On obtiendra successivement, pour les valeurs approximatives de eQ(o), les valeurs suivantes :
4 20 ri4 (fin 79J0 7 3.i 209 ii4<> i33a7
qui vont en croissant et en restant inférieures à la valeur cherchée. Il est facile d'obtenir d'autres suites de nombres allant constamment en diminuant et ayant cette valeur pour limite; on trouve en effet les expressions suivantes des réduites du nombre eQ( — 1) :
; 5 29 ^ ^1 "' 3' i3' 73' Soi' Jloâi'
De la formule connue
Qlo) = .-Q(-i)
on déduit que les fractions
2 J^ 44 3oo a42c '' 3' iS' 73' Soi' .1o5i
ont pour limite Q(o).
Ces fiaclioDS soot plus simples el convergent plus rapideinenl que les fractions déterminées plus haut; elles vont d'ailleurs toujours en décroissant.
En particulier, on a
ces deux
fractions i
ipi-ena
la
vale
do «Q(o),
une eireu
' '^^ 'HOins
de
«jSi,
Le développemeni
le,
, .étie
do
nn.
Ce
impendium
de Sclill
La convergence est sensiblement inoins ra|)ide que celle des l'éduiies.
22. Pour les applications qui suivent, afin de simplifier les foimales, je prendrai le nombre A«, qui était resté arbitraire, égal ù l'unité.'
Les relations qui existent entre les termes des rcduifes et les poljnoJTies Q„, 0„ et Q,, deviennent alors
w/;=.(ii„-V)/„H-e„,/;,-„
el les identités qui déterminent les polynômes Q„, 0„ el ii„,
yGoosle
on peut y joindre Li relalion
2i) <!?, — V5-e„0„-,= WS,„
où S„ désîp;ne un polynôme entier.
l,'é<p[alion différenlielle à laquelle satisfait /„ est d'ailleurs
\ve„r"+[(2"v-i-\v ) — wti;,]j'
— [e„s„-<- e„(u; — V) - 6;(ii„- V)i,r = o.
23. Pour fixer les id(5es, je supposerai que le développement de 5 commence par un terme qui soil an moins du degré de — -
PouP ie dénominateur de la réduite de rang zéro, je prendrai l'unité,, en sorte que l'on aura/o= i el que cp» sera l'ensemble des termes entiers de z (lequel pourra se réduire à zéro).
Je considérerai les deux quantités
comme constituant deux réduites précédentes, en posant et
li est facile de voir, en effet, qu'en posant
e„--= u + îVoo— Wç;, e., = o, £ÏD=v, ti, = — V,
toutes les relations du tableau (A) qui existent entre les rédu consécutives sont satisfaites.
On aura donc
e, ==.!, &/,= u + '^v-fo— Ww;
et
siti= V.
24. Soit, comme exemple, la fonction qui salisfail à i'éqiiation différentielle du premier ordre
