LA RÈGLE DES SIGNES EN GÉOMÉTRIE

Nouvelles Annales de Malhématicjues : 18711

1. Lorsque, dans une figure, l'on a à considérer des segmenls coiiipi.és sur une même droite, ou des angles ayant même sommet, tous les géomètres ont reconnu l'utilité et la nécessité d'affecter un signe à ces segments et à ces angles; le Cours de Géométrie supérieure de M, Chasies offre un exemple des nombreux avantages que l'emploi de la règle des signes a ainsi introduits dans la Science.

Mais, torsque l'on considère des segments comptés sui' des droites différentes on des angles n'ayant pas le même sommet, il semble généralement admis que ,1a règle des signes n'est plus applicable. M. Chasies, dans la Préface de son Cours, exprime formellement celte idée :

« Si l'on ne démontre ordinairement, dit-il (Préface de la Géométrie supérieure, p. ix), une formule ou une relation que par une certaine figure, .et non dans l'état d'abstraction et de généralité-qni permettrait, au moyen des signes + et — affectés aux segments et aux angles, pour marquer leur direction, de l'adapter à tous les états de la fi^'ure, il est facile d'en reconnaître la raison. C'est que les propositions qui forment le plus ordinairement les éléments de démonstration, dans la Géométrie ancienne, ne comportent pas l'application du principe des signes. Telles sont la proportionnalité des côtés homologues dans les triangles semblables, celle encore de la proportionnalité, dans tout triangle, des côtés aux sinus des angles opposés. La règle des signes ne s'applique point à ces propositions, puisque les segments que

Von y considère sont formés sur des lignes différentes, et les angles autour de sommets différents. »

Je me propose de faire voir, dans celle Noie, que, conlrairement à l'idée émise par l'illuslre géomèlre, la règle des signes s'applique à Ions les théorèmes de Géomélrie sans exception.

Je me bornerai à examiner, sous ce point de vue, la dernière des propositions mentionnées dans la citation que j'ai reproduite ci-dessus. Les considérations très simples qui, dans ce cas, résoU vent la question, s'étendent d'elles-mêmes à toutes les autres propositions; ce théorème, d'ailleurs, est l'un de ceux dont l'usage esl le plus fréquent pour établir les relations qui existent entre des segments comptés sur des droites différentes, en sorte qu'il suffit presque d'établir, relativement à ce théorème, la règle des signes pour légifimer d'une façon générale l'emploi de celte règle.

2. Étant donnés un certain nombre de poinis situés sur une même droite, on peut assigner à celle droite un certain sens positif, en admettant qu'un point mobile, qui se mouvrait dans ce sens sur la droite, parcourt des longueurs positives. Celle assignation pourra, dans la plupart des cas, être faite arbitrairement; dans d'autres cas, au contraire, elle devra être faite d'une manière déterminée, en sorte que cette détermination elle-même sera une partie essentielle de la proposition de Géomélrie que l'on aura à considérer.

Quoi qu'il en soit, cette assignation une fois faite, pour éviter toute confusion, je désignerai «ne droite sur laquelle on aura lixé le sens positif sous le nom de direction. Deux points A et B, se trouvant sur une direction donnée d, le segment ÂB a un signe parfaitement déterminé, el il est clair que ce signe change quand on change la direction de d.

Étant données deux directions a et b, l'angle {a, ^)'que fait làdirection a avec la direction 6 esl l'aogle dont il faut faire tournera autour de l'intersection des deux droites jusqu'à ce que les deux directions s'appliquent l'une sur l'autre el soient dirigées dans lemême sens. Cet angle, on le voit, est déterminé, à un multiple près d'une circonférence entière; son sinus et son cosinus sont donc aussi parfaitement déterminés.

Étant donné l'angle (a, f?) de deux directions, si l'une de ces

directions change de sens, l'angle csl augmenté d'une demi-circonférence; par coLiséfjueiiL, le sinus et le cosinus de cel angle cliangenL de signe.

3. Cela posé, nous pourrons énoncer de la façon suivante la proposition relative à la proporlionnalité des côtés d'un triangle aux sinus des angles opposés.

PiioposiTioN. — Étant donné un triangle ABC, si l'on assigne arbitrairement un sens positif aux trois droites qui forment les côtés de ce triangle, et si l'on désigne par a, 6, c les trois directions ainsi obtenues, a étant la direction qui renferme les côtés B et C, etc., on a les relations suivantes, qui comportent la règle des signes.

AB BC ÇA ^\n{a,b)- sir(6,c)- si,i(c,«)"

Pour démontrer cette proposition, il suffit d'assigner aux côtés du triangle une direction déterminée : on vérifie facilement l'exactitude des formules ci-dessus. On peut remarquer maintenant que l'on peut, sans qu'elles cessent d'être exactes, prendre un côté quelconque dans un sens inverse à celui que l'on considérait tout d'abord.

Supposons, par exemple, que l'on change le sens de la direction a; BCcliangera alors de signe, ainsi quesin(a, b) et sin(c, a); les autres quantités ne subissant aucun changement, l'on voit que, dans la série d'égalités précédentes, cliaque terme aura changé de signe : l'égalité ne sera donc pas troublée.

\. La proposition précédente étant établie en toute rigueur, je m'en servirai pour démontrer la relation qui existe entre le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites et le rapport anharmonique des quatre points où ce faisceau est coupé par une transversale quelconque.

M. Chastes {Géométrie supérieure, §X1II), pour établir cette relation, emploie aussi la proposition précédente; mais comme, pour lui, elle ne comporte pas l'emploi de i a règle des signes, il démontre d'abord par son moyen que les deux rapports anharmo-

niques ont la même valeur absolue; il prouve ensuite, pur une considération directe, qu'ils ont le même signe.

I! est facile de voir que le théorème de la proportioniialil.é des côtés aux sinus suffit pour la démonstration de l'égalité des deux rapports.

Soit un faisceau de quatre droites passant par un même point O; assignons à chacune de ces droites un sens positif arbitraire, et soient a, (>, c, d les quatre directions ainsi obtenues. Soient, de plus, A, B, C, D les points où une transversale quelconque coupe les droites de ce faisceau; donnons à cette transversale un sens positif pris arbitrairement, et appelons w la direction de cette transversale. Cela posé, en appliquant au triangle OAB la proposition énoncée ci-dessus, il viendra

sm(A,«).

;le OAB à<.

en

AD

OA

lïii

AB siii

CB sin

ûr(d:

CD ^iïii