COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE QUELCONQUE

Bulletin de la Société philomathique;

Considérons une courbe tracée sur une surface quelconque et la normale don t elle est la directrice ; en chacun des points de cette courbe concevons que l'on porte sur la normale, à partir de ce point, une longueur N, fonction de la position du point sur la directrice. Cela posé, si l'on considère un point quelconque M de cette courbe et un point infiniment voisin M', en désignant par V et V les angles que font avec MM' les segments N et N' portés sur les normales en M et M', on trouve facilement que l'expression (1) MM'(NcosV + N'cosV')

développée suivant la puissance croissante de ds, a pour valeur

D'où cette conclusion, que l'expression donnée ci-dessus est généralement du troisième ordre, mais que quand elle est d'un ordre supérieur au troisième, elie est au moins du cinquième.

Pour que K. soit égal à léro, i! faut et il suffit que N satisfasse à l'équation difiérentielle

dN 2 rfii

3 tango) sinti) 3 p

Formule où d-r\, désigne l'angle de torsion au point donne, p le ravon de courbure et w l'angle que fait avec la surface la normale principale en ce point.

On àédah de là

La valeur du segment N étant déterminée par la relation précédente, on aura alors cette proposition, que l'expression {i),'en chacun des points de la courbe, sera une quantité infiniment petite du cinquième ordre.

L'équation (2) peut se mettre sous la forme suivante :

rfN î dr, — dvi i dp , T "ï tangw ~'" :î p '

p désignant le rayon de courbure de la section normale tangente à la directrice.

Si la courbe considérée est une ligne de courbure ou Tine ligne géodésique, on a dans les deux cas dï^ — diii

La valeur de N est donc, dans les deux cas, proportionnelle à la racine cubique de p.

De là une propriété géométrique commune, on le voit, aux lignes géodésiques et aux lignes de courbure pouvant servir à les définir et qui correspond à l'équation différentielle commune à loutes deux découverte par Joachimstlial,

Les quantités N définies par l'équation (2) jouissent de la pro- [jriété suivante :

Si, sur une surface, on considère les diverses courbes qui se touchent en un point M, pour toutes ces courbes l'expression

i^N dr\ I Sdr, 1 dp

N ds ~ ds laugoi ds tunjjiu p ds

a une valeur constante au point considéré.

SUR