QUELQUES PROPRIÉTÉS LES COKES ALGÉBRIQUES

Bulieliii de la Société philomathique : 1870,

1 . Les propriétés des cônes algébriques, que je veux développer ici, résultent de l'extension à l'espace de quelques propriétés des courbes planes que j'ai publiées dans ma Note inlitislée ; Théorèmes généraux sur Içs courbes planes algébriques, et insérée dans les Comptes rendus (janvier i865).

La propriété sur laquelle je m'appuiera.î peut s'énoncer ainsi :

(I Si d'un point M situé dans le plan d'une courbe de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, et si l'on joint le point M aux n foyers réels de cette courbe, les deux faisceaux de droites ainsi obtenus ont même orieniation. »

D'où la conséquence suivante :

i( Les choses étant posées comme dans la proposition précédente, le centre harmonique des points de contact des tangentes, relativement au point M, est le même que le centre harmonique des foyers réels relativement à ce même point. »

Je ferai observer que ces propositions subsistent encore évidemment quand, au système des n foyers réels, on substitue un système quelconque de foyers indépendants.

Les théorèmes précédents peuvent, dans le plan même, être généralisés de diverses manières. Je ne citerai ici qu'une des généralisations dont ils sont susceptibles.

Soient deux courbes A et B qui soient respectivement de classe m et de classe «, imaginons les mn tangentes communes que l'on peut mener à ces courbes et les mn droites qui joignent

chacun des foyers réels de A aux foyers réels do B; cela posé, l'on peut énoncer le théorème suivant :

Le faisceau formé par les mn droites dont je viens de parler et le faisceau formé par les mn tangentes communes ont même orientation.

D'où la conséquence siilvanle :

« Désignons par ab, a' b' , ... les tangentes communes, a et 6 désignant respectivement les points où la tangente ab louche A et B; désignons en outre par a, a', a!' ... les foyers de A et par p, fj, P", ... les foyers de B; cela posé, la moyenne liarmODique entre les longueurs

ab, a'b', cfb"

est la même que la moyenne harmonique entre les longueurs

Pinir l'expression de moyenne harmonique, je renverrai à ma Note Sur la détermination du rayon de courbure {Bulletin de la Société philomathique, janvier 1S67).

2. Soit un cône algébrique K de classe n ayant pour sommet le point S. Considérons les plans isotropes tangents à ce cône, je veux dire par ià les plans tangents à ce cône qui sont en même temps tangents au cône isotrope ayant pour sommet le point S.

Le cône K étant supposé réel, ces plans passent deux par deux par n droites réelles qui suffisent complètement pour déterminer les plans isotropes tangents au cône.

Ces n droites sont les focales réelles du cône; il y a lien, dans certains cas, de distinguer les focales ordinaires et les focales singulières; mais ici, celte distinction est inutile.

Cela posé, on a la proposition suivante :

Si par une droite passant par le sommet d'un cône de classe n, on mène les n plans tangents à ce cône, et si l'on mène des plans par cette droite et les n focales réelles, . le faisceau des plans tangents a même orientation que le faisceau desplans qui passent par les focales.

CONKS ALQÉIiRlQUES. lïS

Deux cônes, ajant même sommclct circonscrits à deui surfaces liomofocales, sont eux-mêmes liomofocaux.

D'oii cette conséquence :

H Étant données deux surfaces homofocales, les faisceaux de plans, qui passent par une même droite ei sont respeciivemenl tangents à cKaciine des surfaces, ont môme orientation, »

3. Soit un cône réel K de degré m; le cône isotrope ajant même sommet le coupe suivant 2nï génératrices; ces génératrices sont situées deux à deux dans m plans réels.

Je désignerai ces plans sous le nom de plans cycliques du cône.

Leur propriété principale est contenue dans la proposition suivante :

Si l'on coupe un cône par un plan quelconque passant poison sommet, le faisceau de droites communes au plan et au cane et le faisceau de droites suivant lequel le plan coupe les plans cycliques de ce cône ont même orientation.

â. La même proposition peul s'énoncer d'une façon un peu différente.

Soit une courbe plane C de degré m et un point S situé d'une façon quelconque dans l'espace. Le cône isotrope ayant pour sommet S coupe le plan de la courbe suivant un cercle qui a 2/n points communs avec la courbe.

Si l'on suppose la courbe réelle, ces zm points sont situés sur m. droites réelles que je désignerai sous le nom de droites conjointes de la courbe relatiçemenl au point S, en employant une expression dont s'est déjà servi M. Cbasles à peu près dans ic

Cela posé, on a le théorème suivant :

Menons dans le plan de la courbe C une droite quelconque ; soient a, a', «", ... les points oà elle coupe la courbe, soient b, b', 6", ... les points où elle coupe les droites conjointes relatives au point S; le faisceau de droites ayant pour sommet le point S et passant par a, a', a", ... et le faisceau de droites ayant même sommet et passant par b, b', b", . , . ont même orientation .

i34 aÉOMÉiaiE.

Ces diverses propositions peuvent être considérées comme une extension de ce théorème bien connu de géométrie plane :

Si l'on mène une droite dans le plan d'une courbe algébrique, le centre des moyennes distances des points où elle coupe la courbe est le même que le centre des moyennes distances des points où elle coupe les asymptotes de la courbe.

5, Étant donnés un cône de degré m et les m plans cycliques, supposons que ces plans se coupent suivant une même droite D.

Cette droite jouit évidemment de la propriété suivante :

« Si l'on coupe le cône par un point quelconque passant par D, la somme des angles que font avec cette droite les génératrices d'intersection est nulle, quel que soit le plan sécant. »

Je dirai, dans ce cas, que la droite D est un axe de moyenne orientation du cône.

Un cône, en général, n'a pas d'ase qui jouisse de cette propriété; les cônes du second degré, comme on le sait, en ont trois; mais déjà ceux du troisième degré n'en ont que dans certains cas particuliers.

6. Etant donnée une courbe plane C du troisième degré, on peut faire passer par cette courbe une infinité de cônes du troisième degré qui aient un axe de movenne orientation.

Il suffit, en effet, de construire des cercles coupant C en sis points distribués deux à deux sur trois droites concourant en un même point, ou, en d'autres termes, de telle façon que les six points d'intersection soient en involution.

Étant donné l'un quelconque de ces cercles, construisons les sommets du cône isotrope qui passe par ce cercle; chacun de ces points est évidemment le sommet d'un cône passant par C et ayant un axe de moyenne orientation.

Assujettir un cercle à couper une courbe de troisième ordre en six pomts en involution, c'est l'assujettir à une seule condition.

Donc :

Etant donnée une courbe du troisième ordre, on peut, par cette courbe, faire passer une infinité de cônes ayant un axe

de moy^.nne orientation ; les sommets de ces canes sont ùtués sur une surface.

Je me propose, dans une Coinmiinical.ion prochaine, d'étudier cette siirfaee; je ferai seulement remarquer ici qu'elle contient aécessairement la focale de C, je veux dire la ligne double de la développable isotrope circonscrite à C,

7, Considérons une courbe de quatrième degré. Assujettir un cercle à la couper en huit points situés deux à deux sur quatre droites concouranl.es, c'est l'assujettir à deux conditions.

Donc :

Étant donnée une courbe du cjuatrième ordre, on peut, par cette courbe, faire passer une infinité de cônes ayant un axe de moyenne orientation; les sommets de ces cônes sont situés sur une courbe.

8. On verrait de même que, par une courbe du cinquième degré, on ne peut faire passer qu'un nombre limité de cônes ayant un axe de moyenne orientation.

Dans ce qui précède je n'ai, pour plus de clarté, parlé que rie? plans cycliques réélu; mais il est clair que tout ce que j'ai dit s'applique à un système quelconque de plans cycliques indépendants.